Понятие геометрической фигуры в представлении геометрического пространства и его фундаментальных свойств

На важность формирования понятия геометрической фигуры у учащихся указывают многие исследователи. Согласно концепции Дорофеева Г.В., одной из главных целей школьной математики является, в частности, «…умение «работать» с абстрактными, «неосязаемыми» объектами» [7]. Глейзер Г.Д. отмечал, что в содержании понятий геометрии формируется пространственное мышление школьников [5]. Выготский Л.С. утверждал, что «формальная дисциплина … научных понятий сказывается в перестройке и всей сферы спонтанных понятий ребенка» [4]. Иными словами, научные понятия, по своей природе обладающие системой, преобразуют по собственному образу и подобию уже имеющиеся спонтанные понятия, тем самым повышая уровень когнитивного развития ребенка.

Вместе с системностью возникают отношения между понятиями, потому всякое понятие геометрии осознается, формируется только во взаимной связи с другими понятиями. Например, с понятием фигуры неразрывно связано понятие геометрического пространства: это «математическая абстракция, возникшая как отражение свойств формы, меры и взаимного расположения» объектов окружающего мира [6]. Фигура же есть объект геометрического пространства.

От зарождения идеи геометрического пространства до появления стройной теории, в котором оно исследуется, прошли многие годы, пока Евклид не объединил многие известные к тому времени отдельные осмысленные факты в общую логическую систему.

Евклид не определяет явно геометрическое пространство, а задает его аксиоматически. Способ формирования понятий авторов современных учебников является отражением методологии исследования фигур Евклидом. Так, формирование ключевого понятия геометрического пространства в учебниках чаще происходит неявно, в системе аксиом [1, 2, 8, 9]. Впрочем, в некоторых учебниках прежде аксиом предлагается описание геометрического пространства как образа реального мира: «Все, что ни есть, находится в пространстве, все тела имеют какую-то форму и размеры, как-то взаимно расположены. Поэтому всюду – геометрия…» [3].

Авторы часто используют неявные описательные определения понятия фигуры: «Всякую геометрическую фигуру мы представляем себе составленной из точек» [9]. В учебнике Александрова А.Д. с соавторами, напротив, дается явное определение понятия геометрической фигуры, подчеркивается абстрактный ее характер и роль в геометрии: «Фигура – это мысленный образ реального предмета, в котором сохраняются только форма и размеры, и только они принимаются во внимание», «…геометрия – наука о фигурах» [3].

В процессе отражения закономерностей реального пространства пространство геометрическое получает свои фундаментальные свойства. Так, в рамках наследования свойства измеримости тел постулируется деятельность измерения фигур. Наблюдая существующие отношения между телами, в геометрическом пространстве задаются параллельность, перпендикулярность и др.; допускается возможность выбрать систему отсчета. Как реальные объекты могут иметь протяженность в трех направлениях, так и геометрическое пространство становится трехмерным. Аналогично: геометрическое пространство топологическое с фигурами, очерченными границей; структурировано классами геометрических фигур с общими пространственными, метрическими, конструктивными свойствами.

Геометрическое пространство – исходная формальная целостность, и потому фигуры обладают по происхождению системой свойств евклидова пространства. Тогда формирование понятий фигур целесообразно осуществлять в свете свойств пространства: в системе, с добавлением характеристических свойств вместе с исследованием их взаимных связей, свойств-следствий определений.

В авторских концепциях общеобразовательного курса геометрии определения многих понятий не содержат полного спектра характеристических свойств, предполагают некоторые интуитивные допущения, например «треугольник – …фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, попарно соединяющих эти точки…» [9]. Предполагается очевидным, что данная фигура содержит внутреннюю часть плоскости. Определения зачастую подменяются описаниями и чертежами.