Оптимизация одноимпульсных траекторий возврата с орбиты искусственного спутника Луны

Введение

В данной статье рассматривается задача построения оптимальных одноимпульсных траекторий перелета с орбиты Луны в атмосферу Земли космического аппарата (КА) на основе принципа максимума с численным решением краевых задач методом стрельбы в рамках ограниченной круговой задачи трех тел. Рассматриваются перелеты в плоскости орбиты Луны с минимальными затратами характеристической скорости при ограниченном отрезке времени перелета.

Оптимизация траекторий играет важную роль в космических миссиях, так как позволяет снизить расход топлива и увеличить полезную нагрузку. В данной работе применяются современные методы численного моделирования, включая методы интегрирования дифференциальных уравнений и решения краевых задач.

Новизна данной работы заключается в применении численного метода стрельбы в сочетании с алгоритмами оптимизации для построения одноимпульсных траекторий возврата КА с орбиты Луны в атмосферу Земли. В отличие от классических методов, предложенный подход позволяет учитывать широкий диапазон начальных условий и минимизировать характеристики скорости, что повышает эффективность миссий с ограниченными запасами топлива.

Материалы и методы

Для моделирования движения космического аппарата (КА) использовалась ограниченная круговая задача трёх тел [4], где учитывается влияние гравитационных сил Земли и Луны, но пренебрегается воздействием КА на эти тела. Движение КА в этой системе описывается системой дифференциальных уравнений [4]:

Здесь – величина угловой скорости вращения системы Земля-Луна:

, (2)

– гравитационные параметры Земли и Луны, , , , – гравитационные ускорения у поверхностей Земли и Луны, , , , – средние радиусы Земли и Луны, = 6378 км, = 1738 км, – расстояние между Землей и КА, – расстояние между Луной и КА:

, (3)

, , , – декартовы координаты и соответствующие им составляющие скорости центра масс КА, , – координаты центра масс Земли и Луны:

, (4)

= 384400 км – расстояние между Землей и Луной.

На траектории активное управление отсутствует (осуществляется импульсное воздействие в начальный момент времени), , , , – кусочно-гладкие функции, удовлетворяющие уравнениям выше.

В итоге рассматриваемая задача оптимизации формализуется в следующем виде:

Где I – функционал,  представляющий собой квадрат величины импульсного воздействия в начальный момент времени, – скорость на траектории ухода после импульсного воздействия:

, (6)

– краевые условия, – конечный момент времени (T = 250000 с).

Данная задача решается на основе принципа Лагранжа снятия ограничений в импульсной постановке [2].

Для решения задачи применялись численные методы:

• Метод стрельбы [1, 5] для численного решения краевой задачи;
• Метод Дормана-Принса 8 (7) [6] для интегрирования системы дифференциальных уравнений;
• Метод Ньютона в модификации Федоренко [5] с нормировкой Исаева-Сонина [3, с. 1114-1116] для решения нелинейных систем уравнений.

Результаты

В ходе расчетов были определены оптимальные параметры одноимпульсного перелета, включая начальные скорости и углы выхода с орбиты Луны.

Рассчитанные параметры:

• Угол схода с орбиты Луны: 0,196°.
• Угол входа в атмосферу Земли: 0,0828°.
• Оптимальные значения скоростей на различных этапах перелета.

Дополнительно был проведен анализ влияния начальных условий на траекторию КА, включая варьирование начального импульса и времени запуска.

Построенная траектория удовлетворяет всем ограничениям краевой задачи с точностью, равной (рис. 1).

Рис. 1. Траектория возврата КА

Рис. 2. Части на входе в атмосферу Земли траектории возврата КА

Рис. 3. Части на сходе с орбиты Луны траектории возврата КА

Заключение

В данной работе была рассмотрена задача оптимизации одноимпульсных траекторий возврата с орбиты ИСЛ. Задача была формализована в соответствии с методикой [2]. На основе соответствующего принципа Лагранжа её решение свелось к решению краевой задачи импульсной постановки. Краевая задача решена численно методом стрельбы. Входящая в метод стрельбы задача Коши для системы ОДУ решалась численно методом Дормана-Принса 8 (7), система нелинейных уравнений для вектор-функции невязок – методом Ньютона-Исаева-Сонина, система линейных алгебраических уравнений – методом Гаусса с выбором ведущего элемента по столбцу, производные вычислялись с использованием конечных разностей. В результате решения задачи определена экстремаль.