Главная
АИ #24 (259)
Статьи журнала АИ #24 (259)
Методика решения задач, связанных с коническими сечениями

Методика решения задач, связанных с коническими сечениями

Рубрика

Математика

Ключевые слова

уравнение конуса
уравнение удара конуса о сферу
Аполлоний
сечения конуса

Аннотация статьи

В статье представлены предложения и рекомендации по решению различных задач, связанных с коническими сечениями и коническими уравнениями.

Текст статьи

Богатое научное наследие по коническим сечениям оставил нам Аполлоний Пергский, крупнейшим трудом которого является книга «Конические сечения». При пересечении конуса с определёнными плоскостями на сечении образуются эллипс, парабола или гипербола.

Одним из видов конических сечений является парабола, и её применение можно наблюдать как в технике, так и в живой природе. В технической сфере параболы находят применение, например, в конструкции параболических антенн. Учитывая, что мы живём в эпоху, когда невозможно представить жизнь без технологий, становится очевидным, насколько велика значимость конических сечений [1, 3].

Далее рассмотрим решение задач, связанных с коническими сечениями, в современной геометрии. Пусть дана некоторая плоскость П, кривая второго порядка L и точка M0.

Определение. Пучок прямых, проходящих через точку M0 и пересекающих кривую второго порядка L, называется конусом [2]. Здесь точка M0 – вершина конуса, а кривая L – направляющая конуса.

Теперь рассмотрим основную задачу – выведение уравнения конуса. Пусть направляющая конуса лежит в плоскости YOZ, а вершина конуса M0 имеет координаты, не принадлежащие этой плоскости YOZ.

Возьмём произвольную точку M на прямой, проходящей через вершину M0. Обозначим точку пересечения образующей конуса с кривой L как M1.

Из условия, что точки M0, M1, M, лежат на одной прямой, следует определённое соотношение между их координатами.

Подставляя координаты точек M0, M1, M в это уравнение, получаем следующее выражение для уравнения конуса:

image.png,

image.png,

image.png,

(1)

Теперь значение x1 в точке M1 равно нулю. Подставив это в соответствующее уравнение image.png, найдём значение параметра image.png:

image.png, (2)

Подставив значение image.png вместо x1 и y1, получим следующие уравнения:

image.png,

image.png,

image.png,

(3)

На основе полученных уравнений мы приходим к уравнению конуса.

Теперь выведем уравнение конуса image.png, направляющая которого является гиперболой image.png, а вершина задана:

image.png, (4)

Подставив координаты image.png в уравнения, упрощаем выражения:

image.png,

image.png,

image.png,

(5)

Подставив упрощённые значения y1 и z1 в выражение:

image.png,

image.png,

image.png

(6)

Таким образом, получаем уравнение конуса.

Задача 1. Составить уравнение конуса image.png, вершина которого расположена в заданной точке image.png, а образующие образуют заданные углы 450 с данной плоскостью.

Решение:

image.png,

image.png,

image.png,

image.png,

image.png,

(7)

Задача 2. image.png построить уравнение кругового конуса, касающегося сферы.

Решение:

image.png, (8)

Следовательно, координаты вершины конуса равны image.png:

image.png,

image.png,

image.png,

image.png,

image.png,

image.png,

(9)

Ответ: image.png.

Задача 3. Составить уравнение конуса image.png, вершина которого расположена в заданной точке image.png и который касается сферы.

Решение:

image.png,

image.png,

image.png,

image.png,

image.png,

(10)

Ответ: image.png.

Задача 4. Найти уравнение конуса image.png, вершина которого находится в заданной точке image.png, а направляющая задана системой уравнений.

Решение:

image.pngimage.png,

image.pngimage.png,

image.png,

image.png,

image.png

image.png,

(11)

Ответ: image.png.

Задача для самостоятельного решения. Составить уравнение кругового конуса image.png, вершина которого расположена в заданной точке image.png, ось перпендикулярна заданной плоскости, а образующая образует угол 300 с осью конуса.

Ответ: image.png.

Список литературы

  1. Dodajonov N.D., Jo‘rayeva M.Sh. “Geometriya”1-qism, “O‘qituvchi” 1996-y.
  2. Розенфельд Б.А. Аполлоний Пергский. Москва – 2004.
  3. Abjalilov S.X., Ashurova D.N., Begmurodov O.A. On modeling of mechanical vibrations of orthotropic boards in electronic devices, academicia An International Multidisciplinary Research Journal (Double Blind Refereed & Peer Reviewed Journal) Vol. 11, Issue 4, April 2021.

Поделиться

81

Намозова З. Ш. Методика решения задач, связанных с коническими сечениями // Актуальные исследования. 2025. №24 (259). Ч.I. С. 15-17. URL: https://apni.ru/article/12465-metodika-resheniya-zadach-svyazannyh-s-konicheskimi-secheniyami

Обнаружили грубую ошибку (плагиат, фальсифицированные данные или иные нарушения научно-издательской этики)? Напишите письмо в редакцию журнала: info@apni.ru

Похожие статьи

Другие статьи из раздела «Математика»

Все статьи выпуска
Актуальные исследования

#27 (262)

Прием материалов

5 июля - 11 июля

осталось 2 дня

Размещение PDF-версии журнала

16 июля

Размещение электронной версии статьи

сразу после оплаты

Рассылка печатных экземпляров

30 июля