Богатое научное наследие по коническим сечениям оставил нам Аполлоний Пергский, крупнейшим трудом которого является книга «Конические сечения». При пересечении конуса с определёнными плоскостями на сечении образуются эллипс, парабола или гипербола.
Одним из видов конических сечений является парабола, и её применение можно наблюдать как в технике, так и в живой природе. В технической сфере параболы находят применение, например, в конструкции параболических антенн. Учитывая, что мы живём в эпоху, когда невозможно представить жизнь без технологий, становится очевидным, насколько велика значимость конических сечений [1, 3].
Далее рассмотрим решение задач, связанных с коническими сечениями, в современной геометрии. Пусть дана некоторая плоскость П, кривая второго порядка L и точка M0.
Определение. Пучок прямых, проходящих через точку M0 и пересекающих кривую второго порядка L, называется конусом [2]. Здесь точка M0 – вершина конуса, а кривая L – направляющая конуса.
Теперь рассмотрим основную задачу – выведение уравнения конуса. Пусть направляющая конуса лежит в плоскости YOZ, а вершина конуса M0 имеет координаты, не принадлежащие этой плоскости YOZ.
Возьмём произвольную точку M на прямой, проходящей через вершину M0. Обозначим точку пересечения образующей конуса с кривой L как M1.
Из условия, что точки M0, M1, M, лежат на одной прямой, следует определённое соотношение между их координатами.
Подставляя координаты точек M0, M1, M в это уравнение, получаем следующее выражение для уравнения конуса:
| (1) |
Теперь значение x1 в точке M1 равно нулю. Подставив это в соответствующее уравнение , найдём значение параметра
:
, (2)
Подставив значение вместо x1 и y1, получим следующие уравнения:
| (3) |
На основе полученных уравнений мы приходим к уравнению конуса.
Теперь выведем уравнение конуса , направляющая которого является гиперболой
, а вершина задана:
, (4)
Подставив координаты в уравнения, упрощаем выражения:
| (5) |
Подставив упрощённые значения y1 и z1 в выражение:
| (6) |
Таким образом, получаем уравнение конуса.
Задача 1. Составить уравнение конуса , вершина которого расположена в заданной точке
, а образующие образуют заданные углы 450 с данной плоскостью.
Решение:
| (7) |
Задача 2. построить уравнение кругового конуса, касающегося сферы.
Решение:
, (8)
Следовательно, координаты вершины конуса равны :
| (9) |
Ответ: .
Задача 3. Составить уравнение конуса , вершина которого расположена в заданной точке
и который касается сферы.
Решение:
| (10) |
Ответ: .
Задача 4. Найти уравнение конуса , вершина которого находится в заданной точке
, а направляющая задана системой уравнений.
Решение:
| (11) |
Ответ: .
Задача для самостоятельного решения. Составить уравнение кругового конуса , вершина которого расположена в заданной точке
, ось перпендикулярна заданной плоскости, а образующая образует угол 300 с осью конуса.
Ответ: .