Методика решения задач, связанных с коническими сечениями

Богатое научное наследие по коническим сечениям оставил нам Аполлоний Пергский, крупнейшим трудом которого является книга «Конические сечения». При пересечении конуса с определёнными плоскостями на сечении образуются эллипс, парабола или гипербола.

Одним из видов конических сечений является парабола, и её применение можно наблюдать как в технике, так и в живой природе. В технической сфере параболы находят применение, например, в конструкции параболических антенн. Учитывая, что мы живём в эпоху, когда невозможно представить жизнь без технологий, становится очевидным, насколько велика значимость конических сечений [1, 3].

Далее рассмотрим решение задач, связанных с коническими сечениями, в современной геометрии. Пусть дана некоторая плоскость П, кривая второго порядка L и точка M₀.

Определение. Пучок прямых, проходящих через точку M₀ и пересекающих кривую второго порядка L, называется конусом [2]. Здесь точка M₀ – вершина конуса, а кривая L – направляющая конуса.

Теперь рассмотрим основную задачу – выведение уравнения конуса. Пусть направляющая конуса лежит в плоскости YOZ, а вершина конуса M₀ имеет координаты, не принадлежащие этой плоскости YOZ.

Возьмём произвольную точку M на прямой, проходящей через вершину M₀. Обозначим точку пересечения образующей конуса с кривой L как M₁.

Из условия, что точки M₀, M₁, M, лежат на одной прямой, следует определённое соотношение между их координатами.

Подставляя координаты точек M₀, M₁, M в это уравнение, получаем следующее выражение для уравнения конуса:

Теперь значение x₁ в точке M₁ равно нулю. Подставив это в соответствующее уравнение , найдём значение параметра :

, (2)

Подставив значение вместо x₁ и y₁, получим следующие уравнения:

На основе полученных уравнений мы приходим к уравнению конуса.

Теперь выведем уравнение конуса , направляющая которого является гиперболой , а вершина задана:

, (4)

Подставив координаты в уравнения, упрощаем выражения:

Подставив упрощённые значения y₁ и z₁ в выражение:

Таким образом, получаем уравнение конуса.

Задача 1. Составить уравнение конуса , вершина которого расположена в заданной точке , а образующие образуют заданные углы 45⁰ с данной плоскостью.

Решение:

Задача 2. построить уравнение кругового конуса, касающегося сферы.

Решение:

, (8)

Следовательно, координаты вершины конуса равны :

Ответ: .

Задача 3. Составить уравнение конуса , вершина которого расположена в заданной точке и который касается сферы.

Решение:

Ответ: .

Задача 4. Найти уравнение конуса , вершина которого находится в заданной точке , а направляющая задана системой уравнений.

Решение:

Ответ: .

Задача для самостоятельного решения. Составить уравнение кругового конуса , вершина которого расположена в заданной точке , ось перпендикулярна заданной плоскости, а образующая образует угол 30⁰ с осью конуса.

Ответ: .