Применение Парето-аппроксимации в задаче многокритериального оптимального управления спуском космического аппарата
научный журнал «Актуальные исследования» #1 (1), ноябрь '19

Применение Парето-аппроксимации в задаче многокритериального оптимального управления спуском космического аппарата

В статье рассмотрена задача моделирования спуска космического аппарата (КА) типа «несущий корпус», управляемого при помощи углов атаки и крена, а также КА баллистического типа в атмосфере Юпитера. Для решения многокритериальной задачи глобальной оптимизации используется аппроксимация фронта Парето. Рассчитанные траектории обеспечивают минимум максимальной температуры и суммарных тепловых потоков в процессе спуска.

Аннотация статьи
математическая модель
многокритериальная оптимизация
траектория спуска
атмосфера Юпитера
Ключевые слова

Введение

В данной работе исследуется оптимальное управление КА при спуске в атмосфере Юпитера. Сделано предположение, что искомая траектория принадлежит к классу «траекторий с отражениями». Для оценки эффективности снижения тепловых нагрузок на КА, определения оптимального управления КА и определения номинальной траектории исследуются двухпараметрические способы управления спускаемыми аппаратами в атмосфере Юпитера при помощи совместного управления углами крена и атаки. Для решения многокритериальной задачи глобальной оптимизации в условиях несовместности частных критериев оптимальности, используется аппроксимация фронта Парето. Данный подход может обеспечить существенный выигрыш по ряду ключевых параметров при спуске КА в атмосфере Юпитера.

Постановка задачи Парето-аппроксимации

Пусть совокупность частных критериев оптимальности fi(X),  ∈ [1:|F|]  образует векторный критерий оптимальности F(X){F}, где X {X}  – вектор варьируемых параметров; {X}, {F} – пространства параметров и критериев соответственно. Здесь и далее запись вида |F| , где F – некоторый вектор или счетное множество, означает размерность этих объектов. Положим, что ставится задача минимизации каждого из частных критериев в одной и той же области допустимых значений DX R|X|. Тогда задачу многокритериальной оптимизации условно записываем в виде

 (1)

где X*,  F* ‑ решения задачи. Полагаем, что частные критерии оптимальности нормализованы, так что для всех X ∈ DX  справедливы соотношения fi(X) ∈ [0; 1], i ∈ [1:|F|].

Множество достижимости задачи (1) обозначаем DF , а множество Парето и фронт Парето – DX*, DF* соответственно. При этом фронтом Парето DF* является нижняя граница оптимального по Парето множества DX*. Ставим задачу приближенного построения множества Парето (а, тем самым, и фронта Парето) в задаче многокритериальной оптимизации (1). Называем эту задачу задачей Парето-аппроксимации.

Здесь и далее точка F'(X') ∈ DF является не доминируемой и входит в множество Парето, если не существует F'(X') ∈ DF  такой, что fi(X≤ fi(X'),  для всех ∈ [1:|F|]  для хотя бы одного i.

Пусть тем или иным образом уже сформировано архивное множество AF, содержащее не доминируемые точки FiA, а также архивное множество AX  соответствующих ему точек XiA; i  [1: |A|], |A| = |AF| = |AX|. Если при этом на итерации t появляется новая точка Fj, доминирующая некоторые точки из архива AF , то все доминируемые точки, а также соответствующие точки из архива AX, удаляем. При удовлетворении некоторого критерия останова текущее содержимое архивов AF, AX полагаем искомой аппроксимацией фронта Парето DF* и множества Парето DX* соответственно.

В популяционных методах Парето-аппроксимации новые точки для архивов AF, AX «поставляет» популяция S особей si, текущие координаты которых в пространстве поиска {X} равны Xi , а в пространстве {F} – F= F(Xi); i [1: |S|]. Миграция особей в пространстве поиска в популяционных алгоритмах оптимизации подчинена задаче минимизации (для определенности) значений некоторой фитнесс-функции ϕ(X) [1].

В данной работе можно интерпретировать особь si как траекторию спуска КА, полученную при единичном расчете, а популяцию S - как множество всех траекторий, полученных на одной итерации.

Фитнесс-функцию ϕ(X) строим с помощью алгоритма недоминируемой сортировки (Non-Dominated Sorting, NDS). Положим, что все частные критерии оптимальности являются одинаково важными. Ранг особи si, ∈ [1: |S|] в его текущем положении Xi обозначаем ri. В алгоритме NDS используется простейшее из правил вычисления рангов, имеющее следующий вид.

1. Выбираем среди всех особей популяции недоминируемых, присваиваем им ранг, равный единице, и исключаем из дальнейшего рассмотрения.

2. Среди оставшихся особей выбираем недоминируемых, присваиваем им ранг, равный двум, и исключаем из дальнейшего рассмотрения. И так далее до исчерпания популяции.

Приспособленность особи Si  вычисляем по формуле [2]

ϕ(Xi)=1/(1+ri), i ∈ [1: |S|].

Фронт Парето строится при помощи популяционного алгоритма многокритериальной оптимизации Big Bang-Big Crunch [3].

Постановка двухкритериальной задачи управления спуском КА в атмосфере Юпитера

Математическую модель объекта управления представляет система обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) [4, 5]:

 (1)

r=R+H,

 (2)

 (3)

Приняты следующие условные обозначения: V – скорость КА, км/c; θ – угол наклона вектора скорости к местному горизонту, градусы; ε – угол между проекцией вектора скорости на местный горизонт и местной параллелью, градусы; H – высота полета КА над поверхностью Юпитера, км; λ и φ – джовицентрические долгота и широта соответственно, градусы; m – масса КА, кг; Q – тепловой поток, кДж/см2; R – экваториальный радиус Юпитера, км (R = 69911 км); ρ – плотность атмосферы, кг/м3 ; μ – произведение постоянной притяжения на массу Юпитера, км3/сек2 , (μ = 126686534 км3/сек2); r – радиус-вектор в ареоцентрической экваториальной системе координат, км; Px – приведенная нагрузка на лобовую поверхность КА, кг/м2Кб – аэродинамическое качество; γ – угол крена, градусы; α – угол атаки, градусы; T – температура в критической точке, К; n – перегрузка; Tразр – температура разрушения материала теплозащитного покрытия, К, (Tразр=1927 К); C1 – теплоемкость материала теплозащитного покрытия, ккал/м·с·град (C1=0 при T(t)<Tразр, C1=0,4 при T(t)≥Tразр); Sун – площадь уноса, м, (Sун=4,3 м); qk – конвективный тепловой поток, кДж/см2qr – радиационный тепловой поток, кДж/см2; A, B – коэффициенты поглощательной способности материала теплозащитного покрытия; σ – постоянная Стефана-Больцмана (σ=5.6696 ∙ 10-12 Вт ∙ см-2 град-4); εизл – коэффициент, характеризующий излучательную способность теплозащитного материала (εизл = 0,9); ηэфф – эффективная энтальпия, ккал/м, (ηэфф = 1000); g3 – ускорение свободного падения на поверхности Земли, км/сек2 , (gз = 9.8 · 10-3 км/сек2).

Согласно имеющимся материалам [6], приближенно можно принять: = 1,291·105 Дж/м3/2ч, A=3,035·107  Вт/м2.

Шкала высот атмосферы Юпитера сильно зависит от высоты h относительно уровня, на котором давление окружающего газа p = 1 бар, а соответствующая плотность ρ = ρ0  = 1,7 104  г/см3 [7]. Примем данную высоту нулевой уровень (границу облаков). На высотах, где p > 1  бар, атмосфера Юпитера изотермична [8], а распределения давления и плотности достаточно хорошо аппроксимируется экспоненциальной зависимостью. Плотность меняется для p < 1 бар, h > 0  по закону

ρ = ρ0  = ехр(-h/Δ),

где Δ – масштаб неоднородности атмосферы, Δ ~ 23,5 км [9]; для p > 1 бар,  h ≤ 0

ρ = ρ0  = (1 - h/Δ)2,27,

где Δ – масштаб неоднородности атмосферы, Δ ~ 75 км [10]; 

Для формы аппарата типа «несущий корпус» аэродинамические характеристики могут быть аппроксимированы следующими аналитическими зависимостями:

(4)

 (5)

Управление КА в атмосфере осуществляется путем изменения углов крена γ и атаки α. Значения γ и α могут варьироваться в пределах:

-πγπ, 0 ≤ α ≤αmax (6)

Начальная точка траектории t = t0 соответствует моменту входа КА в атмосферу планеты, конечная точка траектории является моментом достижения поверхности планеты, либо моментом достижения высоты, на которой атмосферное давление достигает одной земной атмосферы. При этом все значения параметров КА известны.

V(t0) = V0,θ(t0) = θ0,ε(t0) = ε0,ε(t0) = ε0,h(t0) = h0,λ(t0) = λ0,ϕ(t0) = ϕ(7)

Определены функционалы оптимальности управления:

 (8)

 (9)

имеющие смысл максимальной температуры и суммарного теплового потока соответственно. Здесь t ̂  – длительность полета; Du={u(τ)} – множество допустимых управлений. 

Задача состоит в определении допустимого управления u* (τ) ∈ Du, удовлетворяющего на решениях системы (1) условиям (8), (9). 

Задача (1) - (9) представляет собой двухкритериальную задачу оптимального управления [11]. 

Разобьем интервал [0; t ̂ ] на равные отрезки с узлами τi, i ∈ [0:|U|] и будем искать оптимальное управление u*(τ) в классе кусочно-постоянных функций. Обозначим U=(u1, u2,…,u|U|) – (|U|×1) – вектор, где ui = u(τi). Тогда задачи (12), (13) примут вид

 (10)

 (11)

где Du={u(τ)}, i ∈ [0: |U|].

Таким образом, имеем двухкритериальную задачу оптимизации с критериальными функциями f1(U), f2(U), вектором управления U и множеством допустимых значений вектора варьируемых параметров Du.

В данной работе предложен алгоритм управления КА, обеспечивающий спуск по траектории с отражениями. В предложенном алгоритме варьируются высота условного перицентра Hπ, на которой КА меняет значения γ c 180° на 0°. Выше уровня перицентра γ принимает значение 180°, а ниже высоты условного перицентра γ равен 0°. Так же варьируются углы атаки при спуске и подъёме КА, таким образом, что α принимает при спуске КА значение αс, а при подъеме КА (отражении от атмосферы) становится равным αп. Также варьируется траекторный угол θ входа в верхние слои атмосферы.

Анализ результатов

Разработано программное обеспечение, реализующее моделирования спуска КА в атмосфере Юпитера, а также аппроксимацию фронта Парето, функционирующее под управлением операционной системы Windows 7 и выше. При разработке использована интегрированная среда разработки Qt и язык программирования высокого уровня С++.

При моделировании использовались следующие числовые значения параметров:

h(0) = 450 км, V(0) = 60 км/с, λ(0) = 0°,
Φ(0) = 0°, ε(0) = 0°, m = 500 кг.

На рисунке показана аппроксимация фронта Парето при использовании заданного алгоритма управления КА, обеспечивающего спуск по траектории с отражениями переключением углов атаки и крена при выполнении критериальных функций для КА типа «несущий корпус», полученная в результате серии вычислительных итераций.

Рис. Аппроксимация фронта Парето

Как следует из определения фронта Парето – любое из решений, принадлежащее фронту Парето, не может быть улучшено одновременно по всем частным критериям оптимальности, что показано в таблице.

Таблица

Результаты моделирования

 

Максимальная температура, К

Суммарный тепловой поток, кДж/см2

Оптимизация по f1(U)

3128,95

171120,0

Оптимизация по f2(U)

5073,17

79425,3

 

 

Компромиссный вариант

3427,13

89823,8

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Разработаны методы оптимального управления КА при спуске в атмосфере Юпитера, учитывающие специфические особенности динамики полета.

Разработано программное обеспечение, реализующее моделирования спуска КА в атмосфере Юпитера, а также аппроксимацию фронта Парето, функционирующее под управлением операционной системы Windows 7 и выше. При разработке использована интегрированная среда разработки Qt и язык программирования высокого уровня С++.

Математическое моделирование показало, что предложенный алгоритм управления углом крена и углом атаки, обеспечивающий спуск по траектории с отражениями, может обеспечить существенный выигрыш по ряду ключевых параметров при спуске КА в атмосфере Юпитера. Данный алгоритм позволяет значительно снизить значения максимальной температуры и перегрузки.

Имеется возможность минимизации либо максимальной температуры, либо суммарных тепловых потоков, либо компромиссное решение, не являющееся, строго говоря, оптимальным ни по одному из частных критериев оптимальности, однако удовлетворяющее всем требованиям и ограничениям технического, либо иного характера, накладываемым на опорную номинальную траекторию. Использовать такой подход необходимо, когда другие пути нерациональны или невозможны.

Таким образом, опорную траекторию должно выбирать лицо, принимающее решение в соответствии с имеющимися техническими средствами.

Текст статьи
  1. Карпенко А.П., Митина Е.В., Семенихин А.С. Популяционные методы аппроксимации множества Парето в задаче многокритериальной оптимизации. Обзор // Наука и образование: электронное научно- техническое издание. № 4. 2012. (http://www.technomag.edu.ru/doc/363023.html).
  2. Дивеев А.И., Северцев Н.А. Метод сетевого оператора для синтеза системы управления спуском космического аппарата при неопределенных начальных условиях // Проблемы машиностроения и надежности машин. Машиноведение. 2009. №3. С. 85-91.
  3. Дорофеев В.С. Исследование эффективности алгоритма большого взрыва – большого сжатия в задаче глобальной безусловной оптимизации // 21-ая Молодежная международная научно-техническая конференция "Наукоемкие технологии и интеллектуальные системы 2019". г. Москва, 17 апреля 2019 г., МГТУ им.
    Н. Э. Баумана. 444 с.
  4. Авдуевский В.С., Антонов Б.М., Анфимов Н.А. Основы теории полета космических аппаратов. М.: Машиностроение, 1972. 345 с.
  5. Иванов Н.М., Мартынов А.И. Движение космических летательных аппаратов в атмосферах планет. Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», Москва, 1985, 384 с.
  6. Иванов Н.М., Соколов Н.Л., Осокина О.А. Об эффективности использования двухпараметрического управления углами атаки и крена при спуске КА в атмосфере Земли // Космические исследования. 1998. том 36, №5. С. 528-534.
  7. Фортов В.Е., Гнедин Ю.Н., Иванов М.Ф., Ивлев А. В., Клумов Б. А. УФН, 1996, том 166, номер 4, С. 391–422
  8. Seiff A., Kirk D.B., Knight T.C.D., Young R.E., Michalov J.D., Young L.A. Thermal structure of Jupiter’s atmosphere near the edge of a 5 – µm hot spot in the north equatorial belt // J. Geophys. Res. 1998. V. 103. № E10. P. 22.857–22.889.
  9. Андрущенко В.А., Мурашкин И.В., Шевелев Ю.Д. Численное решение задачи о взрыве в атмосферах планет в переменных Лагранжа // Механика жидкости и газа. № 3. 2013.
  10. Gryaznov V.К. et al. Earth, Moon and Planets. 66 99 (1994).
  11. Федоренко Р.П. Приближенное решение задач оптимального управления. М.: Наука, 1978. 488.
Список литературы
Ведется прием статей
Прием материалов
c 23 января по 29 января
Осталось 6 дней до окончания
Препринт статьи — после оплаты
Справка о публикации
сразу после оплаты
Размещение электронной версии
02 февраля
Загрузка в elibrary
02 февраля
Рассылка печатных экземпляров
08 февраля