Шкалы измерений – к разнообразию данных

1. Данные – это основа для процессов принятия решений, для совершения действий, для выработки и хранения знаний, для обучения знаниям. ГДЕ происходят эти процессы? – в условиях реального окружающего Мира (находясь на позициях материализма), а также в абстрактной сфере ощущений и мышления (порождённых материальными причинами). КЕМ осуществляются эти процессы, кто эти субъекты? – это люди, животные, растения, искусственные аппараты (в процессах значительно разной степени их совершенства и сложности). О ЧЁМ принимаются решения такими субъектами = субъектами принятия решений = СПР? – о разрешении проблем, важных для данного СПР в некоторое время в некотором месте.

Данные D – это значения некоторых свойств F = { f₁, f₂, …,f_K } и\или отношений Ω = { ω₁, ω_2,, …, ω_L }, которые некий СПР приписал некоторым объектам А = { a₁, a_2,, …, a_М }, группам этих объектов, их частям или отдельным точкам (x_i, y_i, z_i), находящимся в пространстве R = {X,Y.Z} и времени Т. Данными D могут быть и сами координаты пространства R (или его 1-, 2-, 3-мерных подпространств) или времени Т, имеющими особое значение для СПР.

2. Как СПР принимают решения на основе данных? Сначала – через формулировку проблемы на основе своих потребностей (интуитивно и\или логически – на некотором языке, своём внутреннем и\или коммуникативном с другими СПР). Затем – через постановку задачи = ПЗ, соответствующей этой проблеме. Такая ПЗ может быть содержательной (интуитивной и\или логической на естественном языке), формальной (логической на формализованном языке) или математической (на строгом языке одного из разделов и аппаратов математики). Далее СПР решает одну из этих поставленных задач, оценивает (либо нет) качество решения и интерпретирует (либо нет) результат на языке формулировки проблемы. На эти темы написано много методологических и теоретических работ; вот некоторые из них [1; 2; 3; 4; 5; 6, с. 99-103; 7; 8; 9, с. 51 и др.].

3. В этих и других работах обсуждались следующие важные вопросы. Каково разнообразие типов и видов данных? Какие из них предпочтительнее для решения некоторой задачи, сформулированной на некотором языке? Какие данные для этого не пригодны? Как подбирать аппарат решения задачи под уже имеющиеся данные? Каковы должны быть данные, пригодные для решения задачи фиксированным СПР, математическим аппаратом, алгоритмом, софтом? Все эти вопросы необходимо задавать и получать ответы на них и при исследованиях по проблемам геокатастрофики (в частности, - цунами) [10, 11, 12 и др].

4. Одним из направлений типизации данных для ответов на эти вопросы стало представление о «шкалах» данных, о «шкалах измерений» [13; 14, с. 9-110]. Хотя для общности применимости такого представления для всех возможных видов СПР следовало бы говорить о «шкалах получаемых данных» и об «элементарных данных».

5. Примерами элементарных данных d можно считать:

1. Имя человека,
2. Скорость движения его машины,
3. Стоимость его авуаров.

В наиболее простом случае элементарное данное d можно определить [16, с. 131-134] как значение fk{x,y,z,t} одного из свойств fk, определённое в точке {x,y,z} трёхмерного геометрического пространства XYZ в момент времени t. Эта точка может находиться в пределах одномерного или двумерного подпространства наблюдений (или эксперимента), а также в пределах некоторого (предварительно выделенного) объекта. Такой объект может быть статическим (неизменным во времени) или динамическим (процессом), целостным либо расчленённым на части.

6. Усложняя и уточняя определение, мы должны заметить:

1. Что свойств fkможет быть много (k=1,2,…,K);
2. Что «определение» значения fk может производиться посредством некоторой процедуры Р (в частности, с удовлетворением (либо нет) требованиям нормативов эмпирических исследований и планирования эксперимента), прибором или экспертом (человеком-исследователем, свидетелем: беспристрастным, честным или фанатично, либо продажно ангажированным или психически больным; растением или животным – подсолнухом, собакой, амёбой и др.), измерением, индикаторным реагированием или приписыванием (имени, цены, температуры и т.п.);
3. Что фиксироваться fkможет в одной из шкал измерений (наименований, порядка, абсолютной и др.);
4. Что значение fk{x,y,z,t} может определяться с погрешностью (ошибкой) – постоянной либо случайной, аддитивной или мультипликативной и т. д.;
5. Что значение fk{x,y,z,t} может иметь единичное эмпирическое определение либо, наоборот, многократно (статистически достоверно) повторённое и подтверждённое (осреднённое либо нет), осреднённое по данным группы экспертов (с весами либо нет);
6. Что определяться это значение может не только в точке, но и в области (причём даже многосвязной, принадлежащей либо нет к уже выделенному объекту) и в период (возможно, многосвязный), а не в момент времени;
7. Что может отсутствовать: либо пространственная привязка значения fkк XYZ, либо его привязка ко времени t, либо и то, и другое (как это бывает с отнесением значения fk к точке или области пространства других свойств Ф, то есть к некому понятию, образу, кластеру) [17; 18, с. 54-58];
8. Что элементарным данным является также значение некого отношения ωj, определяемого как свойство на 2 (на 3, на 4 и т. д.) предварительно выделенных объектах меньшего ранга; это отношение может быть симметричным либо нет (ориентированным).

7. Сделанные замечания показывают, сколь сложной и скрупулёзной бывает работа по качественному сбору и фиксации данных. К сожалению, таковой (и то не всегда!) эта работа бывает в естественных науках и в технологической практике; а вот в гуманитарных науках (а тем более в СМИ, в религиях, в искусстве, в бытовом и в управленческом информационном пространстве) такая работа находится часто на зачаточном или даже нулевом уровне.

8. Элементарные данные фиксируются в «протоколах» (различных форматов) и объединяются в блоки, в массивы и в базы данных (по способу их получения и\или по характеризуемым ими объектам и\или по целям их использования).

9. Значение каждого свойства изучаемого объекта определяется в ходе эмпирических исследований в одной из «шкал измерений». Эмпирические исследования (ЭИ) могут осуществляться как в практической работе (в реальной или реально-модельной среде), так и в теоретической работе (в знаковой среде или в компьютерной модели). При практических ЭИ значение свойства определяется либо в ходе эксперимента, либо в ходе наблюдения, измерением с помощью приборов либо приписыванием с помощью эксперта. Эксперимент осуществляется с материальным вмешательством исследователя в изучаемый объект, а наблюдение – без такого вмешательства. Измерение основано на сравнении значения свойства с некоторой эталонной величиной с помощью некоторых приборов (эталонированных аппаратов или существ), а индикация производится без такого сравнения с помощью приборов-индикаторов (людей или животных, реагирующих интуитивно, органолептически, либо аппаратных индикаторов). Человек-эксперт может действовать или как прибор, или как индикатор.

10. По тому, какими являются соответствующие x,y,z и t - практическими (реальными, из опыта, индуктивными) или теоретическими (виртуальными, от мышления и воображения, дедуктивными), элементарные данные d бывают практическими или теоретическими. Практические d называют фактами.

И практические, и теоретические данные d могут быть точными (детерминированными, безошибочными – высшей достоверности), неточными (со случайными ошибками в известных пределах – средней достоверности) и гипотетическими (с неизвестными ошибками – низшей достоверности).

Аксиома достоверности данных: повышать достоверность данных (от низшей к средней, от средней к высшей или от низшей к высшей) недопустимо. Это приводит к неконтролируемым ошибкам при решении практических и теоретических задач.

11. Все данные входят в состав знаний. Поэтому всё, что сказано выше о данных, относится и к знаниям. Но к знаниям принадлежат и другие сущности. Какие?

До сих пор их круг исчерпывающе не очерчен. В октябре 2011 года в Новосибирске на базе Института математики СО РАН состоялась Вторая конференция «ЗОНТ-2» («Знания, онтологии, теории»), на которой был сделан и мой доклад [17]. На этих конференциях (с международным участием) присутствуют и философы, и IT-технологи, и математики, и представители естественных наук. В итоговой дискуссии проблема о понятийном наполнении терминов «знания» и «онтологии» осталась не разрешённой.

Знания делят по их происхождению (способу вывода) и по форме (языку) их представления следующим образом [17; 19, с. 137-145].

И-знания (индуктивные). Выводятся только (или в основном) из опыта посредством логического и\или математического вывода на естественном и\или искусственном языке.

Д-знания (дедуктивные). Выводятся только (или в основном) из теории посредством логического и\или математического вывода на искусственном (в основном) и\или естественном языке.

С-знания (седуктивные). Выводятся интуитивно из опыта и (или нет) из теории (неявно и опосредованно), причём изначально невербально (вне какого-либо языка), неконтролируемым инсайтом («озарением», «вдохновением», эвристически) с последующей возможной фиксацией на естественном и\или искусственном языке.

12. Мы рассматриваем здесь не только «шкалы измерений» (как это принято), а более обобщённо: «шкалы определения значений отношений и свойств объектов» (или просто «шкалы»). Это обусловлено следующим.

Кроме свойств отдельного объекта, могут определяться и отношения [22, с. 641-646] на парах, на тройках и т. п. объектов (такие отношения являются свойствами пар, троек, … объектов). В частности, такие отношения моделируются рёбрами графа. Отношения – это К-арные свойства (определённые на К объектах и приписанные всей этой группе из К объектов); К=2,3,…

13. Важно различать «исходные свойства» и «производные свойства» [9, с. 51; 15]. Исходные свойства – это такие, значения которых приписаны точкам (или «малым частям») объекта. Производные свойства (= свойства описания) – такие, значения которых вычислены по некоторому алгоритму (или формуле) на основе значений исходных свойств и приписаны объекту в целом. Исходные свойства и отношения преобразуются в производные свойства объекта посредством процедур алгоритмического описания [15].

14. Свойства будем разделять на «имманентные» и «назначенные». Имманентные свойства – это такие, которые связанны с составом и\или структурой самого объекта. Назначенные свойства – такие, значения которых не связаны с составом и\или структурой самого объекта, а назначены произвольно извне; примеры назначенных свойств: имя или номер предмета, его ранг по субъективной «эстетичности».

15. Под «измерением» обычно интуитивно понимается использование некого прибора с помощью мер, эталонов, измерителей. Однако возможно (и практикуется) интуитивное (в частности, органолептическое) определение значений отношения или свойства человеком (экспертом) или животным (собакой и т. п.). В этом случае эксперт выступает в роли прибора, который желательно эталонировать, градуировать и определить типы и величины его погрешностей, а также допустимые и оптимальные условия его работы.

16. Значения свойств и отношений могут определяться не только в ходе эмпирических исследований (ЭИ); они также могут вычисляться, исходя из других значений свойств (отношений), определённых эмпирически (в эксперименте или наблюдении) либо теоретически (в модельном эксперименте, натурном или компьютерно-математическом), а также могут психогенно выдумываться. Внеэмпирические и внемодельные психогенные способы определения свойств или отношений (к которым относятся «озарение», «видéние», «сон» и другие мистические, фантазийные или галлюциноидные способы) мы считаем возможным допускать лишь в качестве гипотез о фактах, имеющих далеко не стопроцентную вероятность [17].

17. Во многих случаях (даже приборно определяемое) значение свойства или отношения зависит от системы ЭИ, в которую входят объект, прибор, экспериментатор (или наблюдатель) и окружающая среда, содержащая помехи и мешающие факторы. При плохом планировании эксперимента или изменении элементов, или связей в системе ЭИ значение свойства (отношения) может существенно измениться.

18. Задачи, в решении которых могут использоваться исходные и\или производные свойства и\или отношения, могут относиться к разным типам и видам. Выделяются прямые и обратные задачи в постановках двух математических направлений: классической математики (матанализа, уравнений матфизики, матстатистики и др.) и неклассической математики (кибернетики, анализа данных, распознавания образов и др.) [5; 9, с. 51; 23].

Отдельные задачи геокатастрофики и волн цунами могут ставиться как прямые либо обратные и решаться как методами классической математики, так и неклассической математики.

19. Теперь – более подробно о шкалах.

«Шкалы измерений» [13; 14, с. 9-110] рассматриваются и\или используются в каждом исследовании, в каждой теоретической или практической работе. В ходе любой деятельности (теоретической или практической) определяются значения каких-либо свойств объекта (предмета, вещи, процесса, явления) либо части (точки или области) некоторого пространства. Точнее, речь идёт о шкалах представления данных как при эмпирических исследованиях, так и при задании значений «психогенных» свойств (вымышленных либо чувственных). Говоря о «шкалах измерений», подразумеваемых в каждой из таких ситуаций, далее для краткости и общности будем вместо термина «шкала измерений» использовать только термин «шкала» (считая их синонимами).

«Шкала» – это не табло, не экран, не линия с делениями на приборе. Когда мы определяем значение некоторого свойства на объекте, то мы говорим о «шкале» этого определения. При этом мы имеем в виду: и всё множество возможных значений этого свойства, и допустимые математические преобразования над этим свойством, и операции над всеми сразу значениями этого свойства (в частности – в связи со сменой нуля шкалы, её диапазона значений, единицы измерений шкалы или с перекодировкой данных шкалы).

Актуальность детальной проработки вопросов, связанных со шкалами, для нас очевидна. Шкалами пользуются при оперировании с информацией во всех областях науки и практики, относящихся к природе и обществу. Однако не все вопросы, возникающие при использовании шкал, решены, проработаны и изложены с достаточной ясностью. В данной статье делается попытка восполнить этот пробел.

20. Примем далее в тексте следующие обозначения.

А_v1, А_v2 – объекты; А – полное множество рассматриваемых объектов; ΔА_k – k-е подмножество объектов; ΔА_k ϵ А.

X - множество свойств, значения которых приписаны всему А_v, частям от А_v или точкам в А_v; x_p – p-ое свойство; X = {x₁, x₂, …, x_p, …, x_P}; Р – число различных свойств; x_p^v – v-ое значение p-ого свойства; Z (x_p) – область (односвязная или многосвязная) допустимых значений (=область определения) свойства x_p.

Ω – множество различных отношений, каждое из которых задано на некотором ΔА_k; ɷ_m – m-ое из этих отношений; m = 1, 2, …, M; M – число различных отношений.

S – множество шкал; S_q – q-я шкала; S_q (x_p) – шкала, в которой определены значения свойства x_p.

Определения и уточнения важных для данной статьи вспомогательных терминов, таких как «данные», «информация», «прямые и косвенные свойства», «объект», «выделение» объекта, «задание объекта по представлению», «классификации исходных заданий объекта», «знания», «онтологии» и ряда других, содержатся в работах [4; 5; 7, с. 140-141; 11 и других].

21. Наиболее распространённым и общепринятым формальным определением термина «шкала» является следующее, содержащееся в работах [5; 13; 14, с. 9-110; 23]: «Шкала (= «шкала измерений») – это однозначное отображение (гомоморфизм) эмпирической системы с отношениями <Ψ1> в числовую систему с отношениями <Ψ2>». При этом образы элементов Ψ1 и Ψ2 называются «шкальными значениями», и на основе свойства гомоморфизма отображения из свойств числовых отношений между шкальными значениями следуют выводы об «эмпирических отношениях» между объектами.

Из этого определения не ясно:

1. Что есть «шкала» - процедура отображения или её результат?
2. На основе каких параметров строится определение «шкалы» и какими параметрами шкала характеризуется?
3. Шкала не всегда является числовой системой.
4. Что есть «эмпирическая система с отношениями»?
5. Распространяется ли это определение не только на свойства объектов, но и на отношения между ними?

22. Мною предлагается следующее альтернативное определение «шкалы», лишённое, как представляется, отмеченных неясностей.

Под «шкалой» (или «шкалой измерений») мы будем понимать тип данных, относящихся к множеству {Х} допустимых значений (данных) {x_p^v}, которые (значения) может принимать определяемое на некотором объекте свойство (или отношение на множестве объектов) Х, при условии, что фиксировано множество {Ф} допустимых преобразований ф над каждым из всех данных одновременно, т. е. над значениями {x_p^v}.

В разработанной нами [32, с. 6-10] характеристической таблице шкал допустимые значения данных (т. е. допустимые элементы шкалы) указаны в столбце «ЭЛ», а допустимые преобразования – в столбце «ДП». Эти столбцы (а также столбцы ФН и ФМ) формируют определение каждой шкалы, а столбцы ИВ и МО характеризуют свойства шкал.

23. В разных научных работах по теории измерений, анализу данных, исследованию операций, искусственному интеллекту, технической кибернетике выделяются и рассматриваются различные виды шкал [4; 5; 8; 9, с. 51; 15; 22, с. 641-646; 23; 24, с. 13-20; 26, с. 162-184; 27 и др.]. Все эти шкалы делятся на сильные и слабые. Каждую из сильных шкал называют также арифметической (синонимы – количественной или метрической).

Среди сильных шкал выделяют абсолютную (А), интервалов (И) (синоним - предпочтений), отношений (О) и разностей (Р).

Среди слабых шкал выделяют шкалу наименований (Н) (синонимы – имён, номинальную, классификационную, логическую 2-го рода) и шкалу порядка (П) (синонимы – порядковую, ранговую, логическую 1-го рода).

Множество возможных значений данных сильной шкалы принадлежит континуальному (бесконечному и непрерывному либо дискретному – конечному или бесконечному) множеству некоторой области определения Z (x_p) ∈ < x_p^*, x_p^** >, а данных слабой шкалы – некоторому конечному множеству Z = { x_p^v } (v=1,…,V), – где V– общее число различных значений x_p^v – не упорядоченных для Н и упорядоченных для П.

24. Далее мы охарактеризуем шкалы Н, П, И, Р, О, А по следующим параметрам.

ЭЛ – элемент: что является элементом шкалы (её элементарным данным x_p^v): ЛЗ – любой знак (в том числе буква, слово, фраза, иероглиф, рисунок, цифра, число (целое или вещественное) – для слабых шкал; в этом случае множество допустимых (возможных) различных значений x_p^v в данной шкале конечно либо бесконечно, априори фиксировано или нет; ВЧ – вещественное число (в частности, натуральное) – для сильных шкал; в этом случае множество допустимых (возможных) различных значений x_p^v в данной шкале бесконечно либо конечно, априори фиксировано либо нет, и является либо нет континуумом в области определения Z (x_p).

ДП – допустимое математическое преобразование ф=ф(x_p) над каждым значением x_p. Это ф трактуется [1, 2, 8] как связь между данными «идеальной» и данной шкалы. Значения ДП: ф(x_p) есть произвольное преобразование, являющееся однозначным (ПО); ф(x_p) – произвольное монотонное преобразование, сохраняющее порядок на значениях (МП); ф(x_p)=аx_p+в; ф(x_p)=x_p+в; ф(x_p)=аx_p; ф(x_p)=x_p (тождественное преобразование, т. е. никакие преобразования не допустимы).

ФН – фиксация нуля: зафиксирован ли жёстко нуль x_p⁰ шкалы (в частности, является ли он «естественным», и если «да», то в=0), «да» или «нет».

ФМ – фиксация масштаба: зафиксирован ли жёстко масштаб (единица измерения) шкалы? Если «да», то а=0.

ИВ – инвариантность выражений: какие из следующих арифметических выражений (равенств или неравенств) будут инвариантны относительно допустимого преобразования данных соответствующей шкалы? Выражения:

1. x_p^v1= x_p^v2 или x_p^v1 ≠ x_p^v2;
2. x_p^v1< x_p^v2 или x_p^v1> x_p^v2;
3. (x_p⁰– x_p^v1) / (x_p⁰ – x_p^v2) = C;
4. x_p^v1– x_p^v2 = C;
5. x_p^v1/ x_p^v2 = C; здесь С – некоторая константа.

МО – математические операции: какие математические операции (арифметические либо статистические) допустимы (имеют смысл) над значениями (данными) из эмпирической выборки рассматриваемой шкалы? Список МО:

1. Определение перечня и частот встречаемости каждого из значений в выборке,
2. Определение min, max и средних величин их частот встречаемости;
3. Построение функции распределения статистических значений (частот), определение квантиля, медианы, моды;
4. Определение статистических моментов распределения значений (обычных, центрированных и нормированных) и функций от них - стандарта, асимметрии, эксцесса;
5. Сложение и вычитание;
6. Умножение и деление.

На основе параметров ЭЛ, ДП, ФН, ФМ, ИВ и МО построена характеристическая таблица для шкал разных типов [32, с. 6-10].

Напомним, что тип шкалы определяется параметрами ЭЛ, ДП, ФН, ФМ, а параметры ИВ и МО характеризуют свойства шкал.

25. В последующих статьях мы приведём примеры для свойств и отношений каждой из этих шкал (в частности – для свойств, используемых для объектов геологии, цунами и геокатастрофики в целом), а также рассмотрим особенности некоторых шкал нелинейных типов и некоторые теоретические утверждения о шкалах.

26. Выводы: в этой статье рассмотрены параметры данных, позволяющие существенно расширить спектр шкал измерений. Введены новые типы шкал, с данными которых могут производиться дополнительные процедуры, что позволяет получить новые постановки и аппараты математических задач обработки данных экспериментов и наблюдений в различных областях науки и практики, в частности – в геокатастрофике и в прогнозе цунами.