Порядок построения математической модели и анализ распределения тепловых полей в объекте цилиндрической формы

При создании многих устройств, подверженных температурным воздействиям, необходимо проводить исследования на предмет их надежности и учитывающий их поведение в рабочем цикле. В статье предлагается пошаговый алгоритм исследования, где рассматривается построение схемы и ход анализа температурного поля полого объекта цилиндрической формы средствами математического моделирования. При помощи такой модели становится возможным описание процесса нагрева любых объектов цилиндрической формы, таких как: трубы различного рода, технологические емкости, части опорных конструкций, сопло реактивного двигателя или парового/газового инжектора, и т.д., в условиях их контакта с окружающей средой.

В структуре моделировании процессов теплообмена будут фигурировать три области распределения тепла, которые характеризуются различными коэффициентами температуропроводности и различными пространственными координатами, в виде радиуса и угла поворота [1, с. 14]. Рассматриваемый объект (в разрезе) изображен на рисунке 1.

Рис. Рассматриваемый полый объект цилиндрической формы

Ниже представлена математическая модель представленного объекта [1, с. 17; 4, с. 23], включающая в себя все три вышеупомянутые области:

 (1)

(2)

при 

  (3)

при  

где T₁ (x,r,t), T₂ (x,r,t) , T₃ (x,r,t) – температурное поле в пространстве внутри объекта, в теле объекта, и во внешней среде; a₁, a₂, a₃ – коэффициенты температуропроводности воздушной среды внутри объекта, тела объекта и внешней воздушной среды соответственно, L – максимальная высота объекта, r – радиус объекта, x – высота объекта, R1 – радиус среды внутри объекта, R2 – радиус среды объекта и тела объекта, R3 – радиус всей системы: среды внутри объекта, тела объекта и окружающей среды.

Далее, согласно порядка исследования, необходимо определить граничные условия математической модели. Это, в первую очередь, будут условия неизолированности системы. В приводимом здесь примере исследования условно примем, что окружающая среда – воздух. Известно, что воздух обладает крайне малой температуропроводностью, следовательно - достаточно взять небольшой участок воздушной среды, который отобразит отток тепла от тела объекта, далее становится возможным применение граничных условий:

 (4)

где Т_окр – температура окружающей среды.

Также необходимо определить условие равенства тепловых потоков на границе сред:

– граница между средой внутри объекта и самим объектом:

      (5)

;

– границы между телом объекта и окружающей средой:

(6)

;

где λ₁ – коэффициент теплопроводности среды внутри объекта, λ₂ – коэффициент теплопроводности самого тела, λ₃ – коэффициент теплопроводности окружающей среды.

Теперь необходимо ввести определение условий оттока тепла с границ рассматриваемого пространства при x = 0 и x = L:

             (7)

где Т_вс0 и Т_всL – температура внутренней среды объекта при x = 0 и x = L соответственно; T_об0 и Т_обL – температура тела объекта при x = 0 и x = L соответственно.

На следующем этапе необходимо ввести начальные условия переходного процесса в каждой из трех сред:

(8)

Для дальнейшего анализа необходимо привести уравнение к дискретному виду при помощи метода сеток [5, с. 145].

Подробный анализ процесса распределения тепла в представленной модели предоставит нам исчерпывающую информацию:

a) о топологии распределения тепловых полей по телу объекта,

b) о теплообмене объекта с внешней и внутренней средой.

Предложенный порядок анализа процесса распределения тепла в представленной здесь модели, в конечном итоге, дает математически обоснованный базис для построения модели регулятора управления температурным полем [2, с. 43; 3, с. 54], что является уже следующим этапом в создании автоматической системы контроля и управления состоянием сложных теплонагруженных объектов и темой следующей статьи.

1. Лыков А.В. Теория теплопроводности, М.: Высшая школа, 1967.
2. Бутковский А.Г. Методы управления системами с распределенными параметрами. – М.: Наука, 1975.
3. Рапопорт Э.Я. Анализ и синтез систем автоматического управления с распределёнными параметрами: Учеб. Пособие / Э.Я. Рапопорт – М.: Высш. шк., 2005. – 292 с.: ил.
4. Михеев М.А., Михеева И.М., Основы теплопередачи. – М.: Энергия, 1977.
5. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. – Москва: Наука, 1978. – 592 с.