Парадоксы применения специальной теории относительности к электромагнитным взаимодействиям

Речь пойдёт о параграфе 6, главы 13, 5-го тома Фейнмановских лекций по физике [1, с. 266]. В нём авторы рассуждают об относительности электрических и магнитных полей, рассматривая электрический заряд движущийся параллельно проводу с током и приходят к выводу, что силу взаимодействия этого заряда и тока можно объяснить, как с точки зрения классической электродинамики, магнитным взаимодействием, так и используя специальную теорию относительности, где в собственной системе отсчёта заряда будет чисто электрическое взаимодействие. Вычислив силу взаимодействия в этой системе, её можно легко пересчитать в любую другую систему отсчёта. Получается, что все электромагнитные взаимодействия могут быть сведены к электрическим. Хотя авторы этого и не видят.

Однако, на этом пути есть подводные камни, не замеченные Фейнманом. Рассмотрим металлический проводник и расположенный вблизи него, на расстоянии r от оси проводника, неподвижный электрический заряд. Пусть в начальный момент никакого тока в проводнике не будет. Количество положительных зарядов в металле равно количеству отрицательных, проводник нейтрален, взаимодействия между зарядом и проводником нет.

А теперь пустим по проводнику электрический ток. Согласно современным представлениям, электроны в металле придут в движение, образовав этот самый ток. Поскольку электроны движутся, согласно специальной теории относительности (СТО), расстояния между ними сократятся, плотность электронов увеличится, проводник окажется отрицательно заряженным и должно появиться электрическое взаимодействие между неподвижным зарядом и проводником с током. Однако эксперимент ничего подобного не показывает. Проводник как был нейтральным, так таким же и остаётся, что Фейнман использует в дальнейших рассуждениях.

Можно предположить, что взаимодействие не возникает вследствие того, что общее количество электрических зарядов в проводнике остаётся неизменным. Но сила электрического взаимодействия зависит не только от величины заряда, но и от квадрата расстояния между взаимодействующими зарядами. И, согласно СТО, именно сокращение расстояний между нашим неподвижным зарядом и каждым из электронов, образующих ток, должно приводить к усилению их электрического поля в точке расположения неподвижного заряда несмотря на то, что общее количество электронов в проводнике осталось неизменным.

Таким образом получается, что СТО предсказывает несуществующий эффект.

Но этим проблемы не исчерпываются.

Пусть вдоль проводника с током движется электрон, но не в ту же сторону, что и заряды, образующие ток, как у Фейнмана, а в противоположную, с той же скоростью v, что и электроны в металле.

Рассмотрим эту ситуацию подробнее. Поскольку сокращение расстояний между атомами решётки не зависит от направления движения вдоль оси Х, то плотность ионов решётки в системе отсчёта пробного электрона будет такой же, как и в случае, рассмотренном Фейнманом (формула 13.24 у Фейнмана):

, (1)

Где: ρ₊  – плотность ионов решётки в лабораторной системе отсчёта;

ρ₊´ – плотность ионов решётки в системе отсчёта пробного электрона;

с – скорость света;

, (2)

Поскольку в системе отсчёта пробного электрона провод с током движется со скоростью v, а электроны, образующие ток, так же движутся по отношению к проводу со скоростью v, то их скорость в системе отсчёта пробного электрона будет равна:

, (3)

Тогда плотность электронов тока в системе отсчёта пробного электрона будет:

, (4)

С другой стороны, плотность электронов тока для параллельно движущегося электрона будет (формула 13.26 у Фейнмана):

, (5)

Электрическое поле, создаваемое электронами тока для электрона, движущегося в противоположном направлении:

, (6)

А – площадь поперечного сечения проводника.

Это поле будет действовать на электрон, движущийся против тока, с силой:

, (7)

Где e – заряд электрона.

В то же время сила, действующая на движущийся параллельно току электрон:

, (8)

, (9)

Для полноты картины мы должны вычесть из этих сил отталкивания силы притяжения движущегося пробного электрона к ионному остову провода, как уже говорилось выше, в обоих случаях они одинаковы:

, (10)

Тогда общая сила взаимодействия заряда и провода, будет:

, (11)

, (12)

Последняя формула – (13.28) у Фейнмана. Знак минус указывает на притяжение. – плотность зарядов в лабораторной системе отсчёта. Это силы, вычисленные в собственных системах отсчёта пробных электронов. Для перехода в лабораторную систему отсчёта их необходимо разделить на γ. Окончательно:

, (13)

, (14)

Невооружённым глазом видно, что сила, действующая на электрон, движущийся на электрон, движущийся в противоположную сторону, что противоречит классической электродинамике. Для большей наглядности разложим выражение для в ряд, [2, ряд 9.03], по v²/с², пользуясь тем, что :

, (15)

Т. е. сила отталкивания при движении пробного электрона против направления тока будет более чем в 1,5 раза больше, чем сила притяжения того же электрона при его движении параллельно току. Чего в эксперименте не наблюдается.