Введение
Лечение онкологических заболеваний печени методом термической абляции требует точного прогнозирования размеров и формы зоны коагуляционного некроза. Основными методами локальной деструкции являются радиочастотная абляция (РЧА) и микроволновая абляция (МВА), физические принципы которых существенно различаются [1, с. 4-18; 2, с. 58-71].
При РЧА нагрев ткани происходит за счет омических потерь при прохождении переменного тока частотой 400–500 кГц, тогда как в МВА используется диэлектрический нагрев электромагнитным полем сверхвысокой частоты [3, с. 27-31]. Комбинирование этих методов позволяет преодолеть ограничения каждого из них в отдельности и достичь большего объема абляции [4].
Целью данной работы является анализ современных подходов к математическому моделированию комбинированного нагрева биологических тканей с учетом температурной зависимости их электрофизических и тепловых свойств.
1. Температурно-зависимые свойства биологических тканей
Точность математического моделирования процесса абляции критически зависит от корректности учета изменения свойств тканей при нагреве. Экспериментальные исследования показывают, что удельная теплоемкость печени существенно зависит от температуры.
Haemmerich et al. [5, с. 194-197] измерили удельную теплоемкость ткани печени in vitro в диапазоне температур 25–83,5°C. Установлено, что удельная теплоемкость увеличивается на 17% при достижении температуры 83,5°C по сравнению с температурами ниже 65°C (p < 0,05). Среднее значение удельной теплоемкости составило 3411 Дж·кг⁻¹·K⁻¹ при 25°C и 4187 Дж·кг⁻¹·K⁻¹ при 83,5°C.
Рис. 1. Зависимость удельной теплоемкости печени от температуры [5, с. 194-197]
Кроме того, при температурах выше 70°C наблюдается значительная потеря воды тканью, достигающая ~20% при 90°C. Это необходимо учитывать при моделировании, так как дегидратация ткани приводит к резкому изменению ее электрических свойств.
Электрическое сопротивление (резистивность) печени также демонстрирует сложную температурную зависимость. Possebon et al. [6] предложили кусочно-заданную функцию LCLCExp, описывающую изменение резистивности в пяти температурных диапазонах:
w1 = w0 + k1·T, (0 ≤ T < T1a), (1)
w2 = wc1 - √(Rc1² - (T - Tc1)²), (T1a ≤ T < T1b), (2)
w3 = w1b + k2·(T - T1b), (T1b ≤ T < T2a), (3)
w4 = wc2 - √(Rc2² - (T - Tc2)²), (T2a ≤ T < Ts), (4)
w5 = wTs · exp(k3·wTs·(T - Ts)), (T ≥ Ts), (5)
Где параметры определяются экспериментально: w0 = 7,1 Ом·м, k1 = -0,07 Ом·м/°C, T1 = 78°C, k2 = 0,16 Ом·м/°C, Ts = 115°C [6].
Рис. 2. Кусочно-заданная функция резистивности печени LCLCExp [6]
Особый интерес представляет температура $T_s = 113 \pm 12$°C, при которой начинается экспоненциальный рост резистивности вследствие интенсивного испарения воды. Экспериментальные измерения с использованием экстраполяции Ричардсона показали, что температура на поверхности электрода при монополярной РЧА мощностью 25 Вт может достигать 125,2°C, что подтверждает реалистичность предложенной модели [6].
2. Математическое моделирование процесса нагрева
2.1. Система уравнений
Математическое моделирование РЧА и МВА основано на решении связанной системы уравнений для электрического потенциала и температуры.
Уравнение Лапласа для расчета электрического потенциала V (В):
∇·(σ∇V) = 0 (6) где σ – электрическая проводимость (См/м), обратная величина резистивности.
Модифицированное уравнение теплопередачи Пеннеса для температуры T (°C):
ρ·c·(∂T/∂t) = ∇·(k∇T) + J·E, (7)
Где ρ – плотность ткани (кг/м³), c – удельная теплоемкость (Дж/(кг·К)), k – коэффициент теплопроводности (Вт/(м·К)), J – плотность электрического тока (А/м²), E – напряженность электрического поля (В/м).
Для ex vivo экспериментов члены, описывающие теплоперенос за счет конвекции (перфузия крови) и тепловыделение вследствие метаболических процессов, опускаются [6].
2.2. Конечно-элементная реализация
Решение системы связанных нелинейных уравнений (6)–(7) осуществляется методом конечных элементов с использованием метода Ньютона-Рафсона в рамках схемы предиктор-корректор второго порядка [6]. Это позволяет автоматически контролировать размер временного шага в диапазоне от 0,00001 до 5 с.
Теплопроводность печени принимается равной 0,44 Вт·K⁻¹·м⁻¹ при 0 °C, линейно возрастает до 0,60 Вт·K⁻¹·м⁻¹ при 100 °C и остается постоянной при более высоких температурах [6].
Рис. 3. Геометрическая модель для конечно-элементного анализа РЧА с четырьмя электродами [6]
Геометрическая модель представляет собой куб объемом 100 × 100 × 100 мм с внедренными цилиндрическими электродами диаметром 1,8 мм и длиной 30 мм. Граничные условия: нулевой потенциал на отрицательных электродах, положительный потенциал на активных электродах (определяется методом множителей Лагранжа для поддержания постоянной мощности, например, 50 Вт), нулевой нормальный градиент электрического потенциала на внешней границе. Принимается, что тепловой поток на всех границах равен нулю. Начальная температура составляет 20°C [6].
3. Моделирование комбинированного нагрева
3.1. Совмещенный РЧ и СВЧ нагрев
Для преодоления ограничений монополярной РЧА, связанных с высушиванием ткани вокруг электрода и разрывом электрической цепи, предложена технология совмещенного омического (РЧ) и диэлектрического (СВЧ) нагрева [4].
Макаров и Боос [4] показали, что использование комбинированного электрода позволяет увеличить объем нагрева более чем на 40% по сравнению с одиночными режимами работы. Моделирование продемонстрировало возможность формирования зоны абляции, перекрывающей размеры опухоли на необходимые 0,5–1,0 см, что часто недостижимо при использовании только РЧА или только МВА.
Рис. 4. Результаты моделирования зон нагрева при совмещенном РЧ и СВЧ воздействии [4]
Физическая основа преимущества комбинированного подхода заключается в том, что:
- РЧ нагрев эффективен в области непосредственного контакта с электродом;
- СВЧ нагрев обеспечивает объемное распределение энергии на большем расстоянии от электрода;
- комбинирование позволяет компенсировать падение эффективности РЧ нагрева вследствие дегидратации ткани за счет диэлектрического нагрева.
3.2. Многоэлектродные системы
Переход от одиночных электродов к многоэлектродным биполярным системам представляет собой радикальное решение проблемы увеличения объема коагуляции [7, с. 55-62].
Исследования показали, что при использовании многоэлектродных систем нагрев может осуществляться от периферии опухоли к ее центру, что обеспечивает более равномерное температурное поле и четкую границу зоны абляции. Разработаны однорядные и двухрядные круговые многоэлектродные системы с количеством электродов от 4 до 12.
Рис. 5. Многоэлектродные системы для абляции: а – для чрезкожных операций, б – для открытых операций, в – для лапороскопических операций [7, с. 55-62]
Типичная двухрядная система из 10 электродов состоит из внутреннего ряда (4 электрода на диаметре 2,2 см) и внешнего ряда (6 электродов на диаметре 3,5 см). При биполярном режиме работы удается достичь диаметра зоны нагрева до 5,5 см и объема более 78 см³ за 8–15 минут. Расчеты показывают, что при увеличении числа электродов до 12 возможно достижение объемов нагрева, превышающих 120 см³, с диаметром до 8 см [7, с. 55-62].
Рис. 6. Нагрев печени двухрядной системой из 10 электродов: а) внешний вид системы; б) расположение электродов по рядам; в) зона нагрева [7, с. 55-62]
3.3. Определение параметров модели из экспериментальных данных
Важным аспектом моделирования является определение параметров температурно-зависимых свойств тканей. Possebon et al. [6] разработали метод определения параметров функции резистивности LCLCExp путем подгонки расчетных кривых сопротивления к экспериментальным кривым импеданса, регистрируемым генератором во время РЧА.
Метод основан на гипотезе: если сопротивление, полученное из конечно-элементного моделирования, соответствует импедансу, зарегистрированному во время эксперимента, то параметры функции резистивности определены корректно. Качество подгонки оценивается с помощью коэффициента детерминации R²:
R² = 1 - Σ(yi - fi)² / Σ(yi - y_ср)², (8)
Где n – число точек выборки, yi – экспериментальный импеданс в точке i, fi – рассчитанное сопротивление в точке i, y_ср – среднее значение экспериментальных импедансов.
Подгонка считается удовлетворительной при R² ≥ 0,95 [6].
Рис. 7. Сравнение расчетных кривых сопротивления и экспериментальных кривых импеданса для шести экспериментов SARFA [6]
Экспериментальные исследования на бычьей печени ex vivo показали, что средние значения ключевых параметров составляют: w0 = 7,1 ± 0,4 Ом·м, T1 = 73 ± 3°C, Ts = 113 ± 12°C, k1 = -0,073 ± 0,007 Ом·м/°C, k2 = 0,11 ± 0,01 Ом·м/°C [6].
4. Проблемы и перспективы развития методов моделирования
4.1. Основные проблемы
Гетерогенность тканей. Биологические ткани представляют собой гетерогенную среду, что приводит к вариабельности экспериментальных данных. Стандартное отклонение времени отключения тока в серии из шести экспериментов составило 42 с (при среднем времени 5 мин 18 с) [6].
Учет фазовых переходов. Испарение воды при температурах выше 100°C приводит к резкому изменению электрофизических свойств тканей. Точное моделирование этого процесса требует учета изменения удельной теплоемкости, теплопроводности и электрической проводимости в зоне фазового перехода [5, с. 194-197; 6].
Эффект теплоотведения. Близкое расположение крупных кровеносных сосудов приводит к охлаждению зоны абляции (heat sink effect), что снижает эффективность РЧА. МВА менее подвержена этому эффекту, но также требует учета перфузии крови при моделировании in vivo условий [3, с. 27-31; 4].
4.2. Перспективы развития
Автоматическое определение параметров пациента. Метод определения резистивности из временной зависимости импеданса открывает путь к автоматическому определению индивидуальной резистивности печени пациента в реальном времени во время клинической РЧА [6]. Это позволит создать базу данных резистивности печени, классифицированную по полу, возрасту, весу и типу опухоли, что существенно повысит предсказуемость результатов абляции.
Интеграция с методами визуализации. Сочетание математического моделирования с данными интраоперационной визуализации (УЗИ, КТ, МРТ) позволит в реальном времени корректировать параметры нагрева и прогнозировать границы зоны некроза.
Многофизическое моделирование. Развитие вычислительных мощностей позволяет переходить к комплексному многофизическому моделированию, учитывающему не только тепловые и электрические процессы, но также механические напряжения, возникающие вследствие теплового расширения, и изменения структуры ткани при коагуляции.
Оптимизация многоэлектродных систем. Численное моделирование в средах типа COMSOL Multiphysics позволяет оптимизировать конфигурации многоэлектродных систем для конкретных клинических задач, обеспечивая необходимую напряженность поля (40–100 кВ/м) по всему объему воздействия [7, с. 55-62].
Заключение
Математическое моделирование комбинированного нагрева биологических тканей является эффективным инструментом для прогнозирования результатов радиочастотной и микроволновой абляции опухолей печени.
Ключевыми факторами, определяющими точность моделирования, являются:
- Учет температурной зависимости удельной теплоемкости, которая увеличивается на 17% при нагреве до 83,5°C [5, с. 194-197];
- Использование кусочно-заданных функций резистивности с экспоненциальным ростом при температурах выше 113°C вследствие дегидратации ткани [6];
- Применение конечно-элементного анализа для решения связанной системы уравнений теплопередачи и электростатики;
- Определение параметров модели из экспериментальных данных путем подгонки расчетных кривых к зарегистрированным временным зависимостям импеданса.
Комбинирование РЧ и СВЧ нагрева позволяет увеличить объем коагуляции более чем на 40% по сравнению с монорежимами [4]. Переход к многоэлектродным биполярным системам с нагревом от периферии к центру обеспечивает более равномерное температурное поле и возможность достижения объемов абляции свыше 120 см³ [7, с. 55-62].
Разработанные методы открывают путь к персонализированному моделированию РЧА с автоматическим определением электрофизических свойств тканей пациента в реальном времени, что существенно повысит эффективность и безопасность термической абляции онкологических заболеваний.
