Доир ба ҳалҳои даврии як системаи эллиптикӣ

Системаи намуди зеринро дида мебароем

(1)

ки дар ин ҷо функсияҳои тағйирёбандааш , ки дар тамоми ҳамвории комплексии муайян мебошад.

Мо системаи (1)-ро бо дар назардошти он, ки ба фазои фазои функсияҳои дар бефосилаи -даврӣ, нисбат ба () тааллуқ дорад тадқиқ менамоем. Пеш аз ҳама оператори зеринро дохил менамоем [1]:

(2)

ки дар ин ҷо панҷараи ададҳои бутун дар  
коэффитсиенти Фурйеи аст, яъне

, (3)

Бигзор

 (4)

бошад. Маълум аст, ки агар қатори Фурйеи функсияи мунтазам наздикшаванда бошад, он гоҳ оператори дар фазои амал мекунад. Барои оператори хоситҳои зерин ҷой дорад

, (5)

Мақсади мо ёфтани ҳалҳои системаи (1) дар фазои ба ҳисоб меравад.

Аз муодилаи дуюми системаи (1) ҳосил менамоем [2]:

(6)

дар инҷо доимии ихтиёрӣ, қимати миёнаи функсияи . Барои он, ки функсияи ба фазои дохил шавад бояд ифодаи ба фазои мазкур тааллуқ дошта бошад. Ишораҳои

ва , (7)

-ро дохил намуда шартҳои имконпазирро дида мебароем.

1. Ба аргументи аввал -ро ҷамъ намуда ҳосил менамоем:

, (8)

Барои он, ки , бояд ифодаи ба 1 баробар шавад, яъне 

(9)

аз инҷо, 

, (10)

барои дилхоҳ Он гоҳ, мешавад.

Акнун -ро меёбем. Ҳамин тавр,

, (11)

ва

(12)

барои дилхоҳ

Бо дар назардошти ифодаҳои (5) ва (6), маълум мешавад, ки

, (13)

аст. Аз ин лиҳоз, мебошад.

Аз натиҷаҳои ҳосил гардида хулоса мебарояд, ки

, (14)

Фарз мекунем, ки шарти (7) иҷро мешавад, он гоҳ

2. Акнун ба ёфтани ҳалли системаи (1) оғоз менамоем. Ифодаи (4)-ро ба муодилаи якуми системаи (1) гузошта ҳосил менамоем

(15)

Муодилаи (8)-ро дар намуди зерин менависем

, (16)

Аз инҷо

(17)

доимии ихтиёрӣ. Аз баробарии охирин -ро муайян менамоем

, (18)

Ҳамин тавр, ҳалли умумии системаи (1) аз фазои намуди зеринро доро аст:

(19)

Теоремаи зерин ҷой дорад

Теорема. Бигзор коэффитсиентҳои системаи (1) ба фазои тааллуқ дошта бошад ва шарти зерин иҷро шавад

, (20)

Он гоҳ, ҳалли умумии ситемаи (1) аз фазои бо ёрии формулаи (9) тасвир карда мешавад.

Агар шарти (10) иҷро нашавад, он гоҳ ва дар ҳолати

, (21)

будан

, (22)

ва дар ҳолати ҷой надоштани шарти (11) мешавад.