Системаи эллиптикии намуди
(1)
-ро дида мебароем ки дар ин ҷо 
функсияҳои тағйирёбандааш 
, ки дар тамоми ҳамвории комплексии 
муайян мебошад.
Системаи (1)-ро бо дар назардошти он, ки 
ба фазои 
фазои функсияҳои дар 
бефосилаи 
-даврӣ, нисбат ба 
(
) тааллуқ дорад тадқиқ менамоем. Пеш аз ҳама оператори зеринро дохил менамоем [1]:
(2)
ки дар ин ҷо 
панҷараи ададҳои бутун дар
коэффитсиенти Фурйеи 
аст, яъне
Бигзор
(3)
бошад. Маълум аст, ки агар қатори Фурйеи функсияи 
мунтазам наздикшаванда бошад, он гоҳ оператори 
дар фазои 
амал мекунад. Барои оператори 
хоситҳои зерин ҷой дорад 
, 
Мақсади мо ёфтани ҳалҳои системаи (1) дар фазои 
ба ҳисоб меравад.
Аз муодилаи сеюми системаи (1) ҳосил менамоем [2]:
(4)
дар ин ҷо 
доимии ихтиёрӣ, 
қимати миёнаи функсияи 
. Барои он, ки функсияи 
ба фазои 
дохил шавад бояд ифодаи 
ба фазои мазкур тааллуқ дошта бошад. Ишораҳои
ва
-ро дохил намуда шартҳои имконпазирро дида мебароем.
а) Ба аргументи 
аввал 
-ро ҷамъ намуда ҳосил менамоем:
Барои он, ки 
, бояд ифодаи 
ба 1 баробар шавад, яъне 
, аз ин ҷо,
(5)
барои дилхоҳ 
Он гоҳ, 
мешавад.
Акнун 
-ро меёбем. Ҳамин тавр,
ва
(6)
барои дилхоҳ 
Бо дар назардошти ифодаҳои (5) ва (6), маълум мешавад, ки
(7)
аст. Аз ин лиҳоз, 
мебошад.
Аз натиҷаҳои ҳосил гардида хулоса мебарояд, ки
Фарз мекунем, ки шарти (7) иҷро мешавад, он гоҳ
б) Акнун ба ёфтани ҳалли системаи (1) оғоз менамоем. Ифодаи (4)-ро ба муодилаи якуми системаи (1) гузошта ҳосил менамоем
(8)
Муодилаи (8)-ро дар намуди зерин менависем
Аз инҷо
доимии ихтиёрӣ. Аз баробарии охирин 
-ро муайян менамоем
(9)
Акнун қиматҳои 
ва 
-ро ба муодилаи якуми системаи (1) мегузорем:
(10)
Муодилаи (10)-ро дар намуди зерин менависем
Аз баробарии охирин ҳосил менамоем:
дар инҷо 
доимии ихтиёрӣ аст, он гоҳ,
Ҳамин тавр, ҳалли умумии системаи (1) аз фазои 
намуди зеринро доро аст:
(11)
Теоремаи зерин ҷой дорад
Теорема. Бигзор коэффитсиентҳои системаи (1) ба фазои тааллуқ дошта бошад ва шарти зерин иҷро шавад
(12)
Он гоҳ, ҳалли умумии ситемаи (1) аз фазои бо ёрии формулаи (9) тасвир карда мешавад.
Агар шарти (12) иҷро нашавад, он гоҳ ва дар ҳолати
(13)
будан
ва дар ҳолати ҷой надоштани шарти (13) мешавад.
