Вычисление Константы Пи через преобразование Октанта единичного круга в прямоугольный треугольник равной площади

Введение

Вычисление фундаментальной математической константы π, определяющей отношение длины и площади окружности к ее диаметру, на протяжении веков остается одной из классических задач математического анализа, геометрии и теории чисел. Традиционные аналитические методы приближенного определения значения π, как правило, базируются на бесконечных рядах, произведениях (таких, как формулы Лейбница, Валлиса, Ньютона-Эйлера) или итерационных алгоритмах (сверхсходящиеся алгоритмы Гаусса – Прента – Саламина). Несмотря на высокую вычислительную эффективность, данные подходы носят дискретно-числовой или аппроксимационный характер и не всегда вскрывают сквозные геометрические взаимосвязи константы с иными фундаментальными пропорциями макрокосма.

В настоящей работе предлагается оригинальный геометрический метод дедуктивного вычисления точного аналитического значения константы π. В основу исследования положен метод неделимых Бонавентуры Кавальери (принцип равновеликости геометрических фигур). Через геометрическое (изоморфное) преобразование площади одной восьмой 1/8 части (октанта-сегмента) единичного круга с R=1 в эквивалентный по площади прямоугольный треугольник, формируется строгое геометрическое основание для составления уравнений связности.

Особую актуальность исследованию придает, обнаруженная в ходе геометрического моделирования, прямая аналитическая связь константы π с пропорцией золотого сечения φ и классическим треугольником Кеплера. Рассмотрение пересечений элементов единичной окружности со сторонами производных подобных треугольников позволяет не просто рассчитать константу, но и описать законы их самоподобного (фрактального) роста. Динамика развертывания последовательности прямоугольных треугольников, как показано в работе, подчиняется аддитивным свойствам, подобно числовым рядам Фибоначчи.

Таким образом, разработанный способ позволяет по-новому взглянуть на природу константы π, не как на трансцендентный предел, но как на алгебраический объект, жестко интегрированный в архитектонику золотой пропорции и фрактальных систем.

Основная часть

1. По методу неделимых Кавальери, преобразуем 1/8 (октант) часть единичного круга (R=1) в равный по площади прямоугольный треугольник с катетами и .

Рис 1

Рис. 2

, (1)

, (2)

Рис. 3

, (3)

, (4)

, (5)

Вывод: ; константа π – не изменилась.

2. Рассмотрим треугольники, которые образуются пересечением дуги единичной окружности (R=1), сторонами треугольника ΔABC и их проекциями на координатные оси:

Рис. 4

, (6)

, (7)

, (8)

, (9)

Рис. 5

Построим ΔA₃B₃C₃, у которого катет , поскольку .

, (11)

Найдем гипотенузу:

, (12)

3. Рассмотрим ΔA₁B₁C₁, ΔA₂B₂C₂, ΔA₃B₃C₃ и построим треугольник ΔA₄B₄C₄, применив комбинацию длин сторон (этот треугольник не влияет на вычисления, но помогает провести дополнительную проверку точности вычислений).

Рис. 6

, (13)

, (14)

, (15)

, (16)

, (17)

, (18)

Рис. 7

, (19)

, (20)

, (21)

, (22)

, (23)

, (24)

Рис. 8

, (25)

, (26)

, (27)

, (28)

, (29)

, (30)

Рис. 9

, (31)

, (32)

, (33)

, (34)

, (35)

, (36)

4. Поскольку число π является константой (const), число π может быть частью сложных выражений, включающих в себя любые математические действия: сложение, умножение, и т. д.

Выдвигаем гипотезу: ΔA₁B₁C₁ = ΔA₂B₂C₂ = ΔA₃B₃C₃ = ΔA₄B₄C₄.

Если гипотеза верна, тогда:

С₁А₁=С₂А₂=С₃А₃=С₄А₄, или .

С₁B₁=С₂B₂=С₃B₃=С₄B₄, или .

A₁B₁= A₂B₂= A₃B₃=A₄B₄, или .

, или .

, или .

, или .

5. Для проверки Гипотезы «ΔA₁B₁C₁ = ΔA₂B₂C₂ = ΔA₃B₃C₃ = ΔA₄B₄C₄» решим равенства и найдем значение π для каждого равенства:

1. , получим уравнение: .
2. ; , получим уравнение: .
3. ; , получим уравнение: .
4. ; , получим уравнение: .
5. ; ; , получим уравнение: .
6. , получим уравнение: .

6. Обратим внимание, что для всех равенств уравнение π⁴ + 16π² - 16² = 0 одинаковое.

Решим уравнение и найдем значение π:

7. Проверим Гипотезу и верность (правильность) значения найденного числа π, на предмет искажения треугольников, применив теорему Пифагора для прямоугольных треугольников:

Рассмотрим треугольник ΔA₁B₁C₁: .

Рис. 10

, (38)

, (39)

, (40)

, (41)

Проверка показала, что полученное значение верно для ΔA₁B₁C₁.

Рассмотрим треугольник ΔA₂B₂C₂: .

Рис. 11

, (42)

, (43)

, (44)

, (45)

Проверка показала, что полученное значение верно для ΔA₂B₂C₂.

Рассмотрим треугольник .

Рис. 12

, (46)

, (47)

, (48)

, (49)

, (50)

Проверка показала, что полученное значение верно для ΔA₃B₃C₃.

Рассмотрим треугольник .

Рис. 13

, (51)

, (52)

, (53)

, (54)

Проверка показала, что полученное значение верно для .

Выводы:

, (55)

, (56)

, (57)

8. Рассмотрим ΔABC и ΔA₄B₄C₄

Рис. 14

Рис. 15

ΔABC и ΔA₄B₄C₄ подобны по равенству и .

Найдем коэффициент линейного подобия:

, (58)

Гипотенуза СА:

, (59)

9. Найдем связь между золотым сечением φ (Фи) и π (Пи):

, (60)

Проверим:

, (61)

, (62)

Получим:

, (63)

Вывод:

, (64)

10. Построим ΔDEF, подобный ΔABC, увеличив на коэффициент линейного подобия .

Рис. 16

Рис. 17

Подставим значение , получим:

, (65)

, (66)

Рис. 18

– треугольник Кеплера.

11. В ΔABC построим высоту BG и рассмотрим ΔABG и ΔBGC.

Рис. 19

Рис. 20

Рис. 21

, (67)

Получим:

, (68)

, (69)

, (70)

, (71)

, (72)

12. В ΔDEF построим высоту EJ и рассмотрим ΔDEJ и ΔEJF.

Рис. 22

Рис. 23

Рис. 24

, (73)

, (74)

, (75)

13. Расположим ранее найденные (изученные) треугольники по мере возрастания.

Рис. 25

, (76)

Рис. 26

 , (77)

Рис. 27

, (78)

Рис. 28

, (79)

Рис. 29

 , (80)

Коэффициент линейной пропорциональности .

Коэффициент пропорциональности площадей .

14. Рассмотрим элементы числовой последовательности Фибоначчи.

Числовая последовательность Фибоначчи: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55…

Рис. 30

, (81)

15. Построим Гармоничную самоподобную (фрактальную) Геометрическую последовательность треугольников Δ S₁, S₂, S₃, S₄, S₅, S₆…, последовательно (по мере возрастания) сопряжёнными между собой по принципу: «катет - сумма катетов» с коэффициентами пропорциональности: – линейный коэффициент; – коэффициент площади

Рис. 31

Рис. 32

, (82)

, (83)

, (84)

16. Построим Гармоничную самоподобную (фрактальную) Геометрическую последовательность треугольников Δ S₁, S₂, S₃, S₄, S₅, S₆…, последовательно (по мере возрастания) сопряжёнными между собой по принципу: «гипотенуза-катет» с коэффициентами пропорциональности: – линейный коэффициент; – коэффициент площади.

Рис. 33

, (85)

17. Построим Гармоничную самоподобную (фрактальную) Геометрическую последовательность треугольников Δ S₁, S₂, S₃, S₄, S₅, S₆…, последовательно (по мере возрастания) сопряжёнными между собой по принципу: «катет-катет» с коэффициентами пропорциональности: – линейный коэффициент; – коэффициент площади.

Рис. 34

 , (86)

, (87)

, (88)

, (89)

Выводы:

1. Константа π (Пи) – алгебраическое число, выраженное через:

, (90)

2. Константа π (Пи) может быть выражена несколькими выражениями:

, (91)

3. Константа π (Пи) связана с золотым сечением .

4. Константа π – иррациональное число, из-за числа «», находящегося в выражении числа и .

5. Константа π – кратна 2 (при умножении на ∞ бесконечность – чётное число), из-за числа «4», находящейся в выражении числа (*Обнаруживается связь с размышлениями Галилео Галилея о неделимости бесконечности, из-за неделимости точки. Только чётное число точек может быть разделено на 2 части).

6. Используя линейный коэффициент пропорциональности и коэффициент пропорциональности площадей , возможно построение самоподобных (фрактальных) рядов (последовательностей треугольников) оригинальной формы, показывающие связь константы π с золотым сечением , и имеющих вычислительную, эстетическую и философскую ценность.

7. Истинное значение константы составляет: π=3,144605511029693…

Общепринятое значение: π*=3,141592653589793…

*Обратим внимание, что разница составляет приблизительно 0,003 (или 0,1%), поэтому вычисления до бесконечного знака не могут исправить ошибку, возникшую на 3-м знаке после запятой, из-за самого аппроксимативного принципа вычисления.