Цепи Маркова против простого roll-rate: когда упрощённая модель миграций искажает оценку потерь

Введение

Переход банков к модели ожидаемых кредитных убытков сделал оценку будущих миграций заёмщиков между состояниями качества не аналитическим упражнением, а прямым источником цифр в отчётности. Для розничных портфелей, где счетов сотни тысяч, а индивидуальная оценка невозможна, такой прогноз почти всегда строится на агрегированной статистике переходов между корзинами просрочки. И здесь у риск-менеджера есть выбор: использовать полную матрицу миграций или ограничиться простыми коэффициентами перехода, которые в банковской практике называют roll-rate.

Популярность roll-rate объяснима. Коэффициенты считаются в электронной таблице и легко объясняются аудитору. Но за простотой стоит сильное допущение. Каждая строка матрицы переходов, где есть вероятности остаться в корзине, вернуться в график, частично погасить просрочку или досрочно закрыть кредит, сжимается до одного числа — доли счетов, перешедших «вперёд». Всё остальное по умолчанию считается выздоровлением. Насколько велика цена такого упрощения и при каких условиях она становится неприемлемой? На реальных данных ошибку модели трудно отделить от шума.

Цель статьи — количественно оценить искажение ожидаемых потерь, которое вносит модель roll-rate по сравнению с полной марковской матрицей, и сформулировать обоснованные критерии выбора между ними. Для этого используется контролируемый вычислительный эксперимент: портфель моделируется по заранее известной истинной матрице, поэтому для каждой оценки можно точно посчитать ошибку. Рассматриваются три оценщика — полная матрица, roll-rate по счетам и агрегатный вариант net flow — в двух сценариях: стабильного портфеля и портфеля с резким ростом выдач. Отдельно анализируется чувствительность к доле частичных излечений.

1. Марковская модель миграций и её упрощение до коэффициентов перехода

Будем описывать состояние каждого кредита в конце месяца номером корзины просрочки: текущий платёж, 1–30, 31–60, 61–90 дней и дефолт (более 90 дней). Добавим ещё одно поглощающее состояние — полное или досрочное погашение, после которого счёт покидает портфель. Если вероятность оказаться в следующем месяце в том или ином состоянии зависит только от текущего, последовательность корзин образует цепь Маркова, а вся динамика портфеля задаётся одной квадратной матрицей P, элемент p_ij которой равен вероятности перехода из корзины i в корзину j за месяц. Ключевое свойство такой модели — отсутствие «памяти»: прогноз опирается лишь на текущее состояние, а путь, которым заёмщик в него пришёл, не учитывается [2, с. 162]. Именно это позволяет получить распределение портфеля через h месяцев простым возведением матрицы в степень h.

Ожидаемые кредитные убытки по сегменту определяются произведением суммы под риском, вероятности дефолта и доли потерь при дефолте, а стандарт различает три стадии обесценения: на первой убытки оцениваются на 12 месяцев вперёд, на второй и третьей — на весь срок актива [3, с. 75]. Критерии стадий в розничной практике обычно привязаны к той же шкале просрочки: просрочка более 30 дней указывает на существенное увеличение кредитного риска, более 90 дней — на дефолт [5, с. 83–84]. Следовательно, матрица по корзинам даёт сразу и 12-месячную, и пожизненную вероятность дефолта.

Модель roll-rate устроена иначе. Для каждой корзины k берётся доля задолженности или счетов, которые через месяц оказались в корзине k + 1, и эти доли перемножаются по цепочке до дефолта. По сути это вырожденная марковская модель, где от каждой строки матрицы остался один элемент. Платой за простоту становится трудность с горизонтом прогноза: в литературе отмечается, что годовую вероятность дефолта практически невозможно перевести в вероятность дефолта на весь срок кредитного договора [1, с. 209].

Полезно явно записать, какой матрице соответствует roll-rate. Если известны лишь коэффициенты r_k, модель фактически предполагает, что из корзины k счёт либо уходит в k + 1 с вероятностью r_k, либо возвращается в текущее состояние с вероятностью 1 − r_k. Вероятности остаться в той же корзине, сдвинуться на одну ступень назад или перескочить сразу через ступень принимаются равными нулю. На практике встречаются два способа оценивать r_k. Первый — по счетам, с прослеживанием каждого кредита. Второй, известный как net flow, сравнивает агрегатный остаток корзины k + 1 в месяце t + 1 с остатком корзины k в месяце t и вовсе не требует данных по отдельным счетам. Он ещё грубее, ведь в числитель попадают и счета, пришедшие в корзину k + 1 из других корзин.

Матричный подход применяется не только в резервировании, но и в управлении взысканием: отнесение заёмщиков к группам риска рассматривается как марковский процесс, а элементы матрицы — как доли перераспределения заёмщиков с просрочкой между категориями [6, с. 5]. Такое описание естественно для розничной просрочки. Многие заёмщики с просрочкой не излечиваются полностью и не уходят в дефолт, а «застревают» в корзине или частично гасят долг. На важность учёта таких обратных процессов — погашения, выхода из дефолта, списания — указывают и исследования вероятности дефолта по агрегированной статистике просрочки [4, с. 167].

Отсюда вытекают две проверяемые гипотезы. Первая: roll-rate, рассчитанный по счетам, систематически занижает вероятность дефолта и ожидаемые потери, потому что превращает «застревание» и частичное излечение в полное выздоровление. Вторая: агрегатный net flow может давать близкую к истине сумму резерва в стационарном портфеле за счёт взаимной компенсации ошибок, однако эта компенсация разрушается при изменении объёма выдач, а оценки по отдельным корзинам — а значит, и распределение по стадиям — смещены в любом режиме.

2. Дизайн вычислительного эксперимента

Истинная матрица переходов задана так, чтобы воспроизводить типичную для потребительского кредитования картину (табл. 1). Из текущего состояния за месяц в просрочку 1–30 дней уходят 3 % счетов, ещё 1,5 % гасятся досрочно. Из корзины 1–30 дней 45 % возвращаются в график, 20 % остаются в той же корзине, 33 % проваливаются дальше. Из корзины 31–60 дней 15 % излечиваются полностью, столько же — частично, до корзины 1–30; ещё 15 % остаются на месте и 55 % переходят в 61–90. Наконец, из корзины 61–90 дней три четверти счетов уходят в дефолт, но 10 % задерживаются в корзине, а 15 % в сумме возвращаются в более ранние состояния. Дефолт и погашение — поглощающие состояния.

Таблица 1. Истинная матрица месячных переходов, %

Портфель стартует со 100 тыс. счетов, распределённых по корзинам в пропорции 93 / 4 / 1,7 / 1,3 %, и ежемесячно пополняется новыми кредитами в текущем состоянии. В базовом, стабильном сценарии выдаётся 1,5 тыс. кредитов в месяц на протяжении всего горизонта. В сценарии роста с 25-го месяца выдачи увеличиваются вчетверо, до 6 тыс. в месяц,. Траектория каждого счёта разыгрывается методом Монте-Карло на 48 месяцев с фиксированным зерном генератора, так что эксперимент воспроизводим. Расчёты выполнены на Python (NumPy).

Оценки строятся по окну калибровки из двенадцати месячных переходов, с 25-го по 36-й месяц; отчётной датой считается конец 36-го месяца. Полная матрица оценивается методом максимального правдоподобия: каждый элемент равен доле счетов из корзины i, оказавшихся через месяц в корзине j, то есть n_ij / n_i. Roll-rate по счетам рассчитывается как n_k,k+1 / n_k, а остаток строки относится к текущему состоянию; для текущей корзины сохраняется доля досрочных погашений 1,5 %. Net flow определяется отношением числа счетов в корзине k + 1 к числу счетов в корзине k месяцем ранее, а для последнего шага — отношением новых дефолтов к остатку корзины 61–90 дней. Оценки сравниваются с истинной матрицей и с фактическими дефолтами за 12 месяцев после отчётной даты.

Для каждой модели вычисляются три показателя. Первый — 12-месячная вероятность дефолта по корзине, то есть соответствующий элемент матрицы M в двенадцатой степени. Второй — вероятность дефолта за весь срок; для поглощающей цепи она находится через фундаментальную матрицу N = (I − Q)^−1, где Q — блок переходов между непоглощающими состояниями; примечательно, что именно миграционная модель на цепях Маркова порождает геометрическое распределение времени до дефолта [1, с. 210]. Третий — 12-месячные ожидаемые потери портфеля: сумма по корзинам произведений числа счетов, вероятности дефолта, суммы под риском и доли потерь. Сумма под риском принята равной 100 условным единицам на счёт, доля потерь — 60 %; потери выражены в тысячах условных единиц.

Важно оговорить, что эксперимент поставлен в заведомо благоприятных для марковской модели условиях: истинный процесс сам является однородной цепью Маркова. На реальных данных у матрицы есть собственные слабые места — прежде всего предположение о неизменности переходных вероятностей во времени, из-за которого прогноз на длинном горизонте может заметно расходиться с действительностью [2, с. 168]. Однако roll-rate опирается на ту же гипотезу стационарности, только на урезанном наборе параметров. Контролируемая среда позволяет вычленить в чистом виде ошибку сжатия матрицы.

3. Результаты: где и насколько искажается оценка потерь

Восстанавливает ли оценщик полную матрицу по годовому окну? Да, и весьма точно. При нескольких тысячах наблюдений в каждой просроченной корзине отклонения оценённых вероятностей от истинных не превышают 0,6 процентного пункта: например, доля переходов из 1–30 в 31–60 дней оценена в 32,9 % при истинных 33 %. Соответственно, и 12-месячные вероятности дефолта, полученные из оценённой матрицы, практически совпадают с истинными и с фактически реализовавшимися (табл. 2).

Таблица 2. 12-месячная вероятность дефолта по корзинам, стабильный сценарий, %

Совсем иная картина у roll-rate по счетам. Вероятность дефолта для корзины 1–30 дней оценивается в 16,2 % вместо 28,8 %, для корзины 31–60 дней — в 43,3 % вместо 63,7 %, для текущих счетов — в 3,35 % вместо 5,56 %. Пятая часть счетов корзины 1–30 дней ежемесячно остаётся в ней же; для модели roll-rate они «не перешли вперёд» и потому числятся выздоровевшими. Так же трактуются частичные излечения из корзины 31–60 дней в 1–30 и задержка в корзине 61–90 дней. На каждом шаге модель выпускает из цепочки к дефолту часть рискованных счетов, и ошибка накапливается мультипликативно.

В деньгах это выглядит так (табл. 3). В стабильном сценарии истинные 12-месячные ожидаемые потери составляют 403,1 тыс. условных единиц, фактически реализовалось 400,3 тыс. Полная матрица даёт 406,2 тыс. (+0,8 %), roll-rate по счетам — 255,5 тыс., то есть занижение на 36,6 %. В сценарии роста масштаб тот же: 630,0 тыс. по истинной матрице, 624,0 тыс. по оценённой полной (−1,0 %) и 388,8 тыс. по roll-rate (−38,3 %). Первая гипотеза подтверждается. Недооценка резерва более чем на треть — не случайная погрешность, а методологический сдвиг.

Таблица 3. 12-месячные ожидаемые потери портфеля, тыс. усл. ед. (в скобках — отклонение от истинного значения)

С net flow ситуация тоньше, и для практика она, пожалуй, опаснее. В стабильном сценарии совокупная оценка потерь — 403,6 тыс. — почти идеально совпадает с истинной. На первый взгляд упрощённая модель реабилитирована. Однако табл. 2 показывает, что совпадение достигнуто взаимным погашением ошибок разного знака. Для текущих счетов net flow завышает вероятность дефолта (6,18 % против 5,56 %), поскольку в числитель первого коэффициента попадают и счета, пришедшие в корзину 1–30 дней из более глубокой просрочки. Для просроченных корзин оценка, напротив, занижена: 23,2 % вместо 28,8 % и 48,9 % вместо 63,7 %. Небольшое завышение на массе текущих счетов компенсирует сильное занижение на «хвосте».

Компенсация держится лишь до тех пор, пока соотношение корзин остаётся неизменным. В сценарии роста приток новых кредитов раздувает текущую корзину, а просрочка по ним проявляется с лагом. Коэффициенты net flow, рассчитанные по окну, где знаменатель уже вырос, а числитель ещё нет, снижаются, и совокупная ошибка становится односторонней: 608,5 тыс. вместо 630,0 тыс., или −3,4 %. Важен знак: модель недооценивает риск именно при быстром росте портфеля. Для второй стадии обесценения расхождение ещё заметнее: вероятность дефолта за весь срок для корзины 1–30 дней по net flow составляет 46,6 %, по roll-rate — 32,3 %, тогда как истинное значение равно 49,1 %, а оценка по полной матрице — 49,3 %. Подтверждается и вторая гипотеза.

Чтобы понять, какой именно элемент матрицы «ломает» упрощённую модель, проведена серия дополнительных прогонов. В них варьировалась доля частичных излечений из корзины 31–60 дней в корзину 1–30 при неизменной доле перехода вперёд; пропорционально менялась и доля частичных излечений из корзины 61–90 дней (табл. 4). По мере роста этой доли от нуля до 30 % истинная 12-месячная вероятность дефолта для корзины 1–30 дней повышается с 26,6 до 31,3 %: частично излечившиеся заёмщики повторно скатываются в просрочку. Оценка по полной матрице следует за истиной с отставанием не более 0,6 п. п. Roll-rate же при любом значении параметра показывает около 15,8 %. Он просто не видит этого канала.

Таблица 4. Чувствительность 12-месячной вероятности дефолта корзины 1–30 дней к доле частичных излечений из корзины 31–60 дней, %

Насколько значимы такие расхождения для банка? Для сравнения: средний отрицательный эффект перехода на модель ожидаемых убытков для капитала 24 проанализированных российских банков оценивался в 15,5 % [3, с. 76]. Выбор между roll-rate и полной матрицей способен сдвинуть резерв по розничному сегменту на величину сопоставимого порядка. Стоит отметить, что игнорирование части переходов встречается не только в roll-rate: в ряде прикладных методик вероятность дефолта по рейтинговым группам рассчитывается без учёта перемещений заёмщиков из проблемных в непроблемные [5, с. 89].

Из результатов следует практическое правило. Прежде чем доверять roll-rate, стоит проверить три показателя: долю «застревания» на диагонали просроченных корзин, долю частичных излечений (переходов на одну и более ступени назад, но не в текущее состояние) и разницу между 12-месячной вероятностью дефолта по roll-rate и по полной матрице для корзины 1–30 дней. Если первые две доли малы — единицы процентов — и разница не превышает нескольких процентных пунктов, упрощение допустимо как контрольный инструмент. Если же на диагонали остаётся 10–20 % счетов, как в нашем эксперименте, roll-rate годится лишь для мониторинга.

Заключение

Упрощённая модель миграций искажает оценку потерь всякий раз, когда в портфеле существенна доля счетов, которые движутся не строго «вперёд или в норму»: остаются в корзине просрочки, частично гасят долг или возвращаются после ухудшения. Roll-rate, рассчитанный по счетам, интерпретирует все такие случаи как выздоровление и в реалистичной конфигурации занижает 12-месячные ожидаемые потери более чем на треть — на 36,6 % в стабильном и на 38,3 % в растущем портфеле. Агрегатный net flow выглядит точнее, но лишь благодаря взаимной компенсации ошибок по корзинам; при ускорении выдач она нарушается, и модель начинает недооценивать риск именно в период активного роста.

Полная матрица переходов, напротив, при годовом окне калибровки восстанавливает и 12-месячные, и пожизненные вероятности дефолта с отклонением около 1 %, не требуя ничего сверх тех же данных по отдельным счетам, которые нужны и для корректного roll-rate. Каждая её строка прямо показывает, куда уходят счета из корзины, так что в интерпретируемости она не уступает упрощённой модели. В этом и состоит обоснование выбора полной матрицы как базового инструмента оценки резервов по розничным портфелям; roll-rate разумно оставить в роли быстрого индикатора для мониторинга.