Расчет большого изгиба стержня в программе Mathcad

Начиная с версии 15, в программе MathCAD появилась возможность вычислять эллиптические интегралы, что позволяет решать задачи, содержащие эти интегралы, не прибегая методам, изложенным в [2]. При этом возникают некоторые особенности применения программы, которые рассмотрим на примере задачи расчета большого изгиба упругого стержня, приведенной в [1, с. 111], рис. 1.

Рис. 1

Все обозначения и формулы взяты из [1].

Расчет в программе MathCAD целесообразно начать с задания значений модулярного угла 0 ≤ a < 90⁰. При этом значение угла a = 90⁰ следует избежать, так как при этом значение полного эллиптического интеграла F(k) = ∞, а для сохранения количества расчетных значений уменьшить шаг изменения угла a. Например, приняв ранжированную переменную i = 1…12, задаем значения угла a_i = 41deg + 4deg·i и последовательно вычисляем модуль k, интегралы F(k), E(k), F(j₀), E(j₀), параметр j₀, коэффициенты подобия b и w₀ по формулам: k_i = sina_i ;

- полный эллиптический интеграл 1-го рода;   полный эллиптический интеграл 2-го рода; где z₀ = p/2 – угловой коэффициент подобия;

- эллиптический интеграл 1-го рода;

 - эллиптический интеграл 2-го рода;

 - коэффициент подобия. Особенностью здесь является то, что в последующих формулах возникает ошибка «деление на ноль». В этой связи значение b_i следует переопределить так: b1_i = b_i – 10^-10, что не отражается на значениях b_i, вычисляемых обычно до 3-4 знака после запятой.

 - параметр, связанный с моментом в точке 0 заделки балки (см. ниже). Вычисленные значения сведены в таблицу 1.

Таблица 1

По полученным значениям величин определяются все геометрические и силовые параметры изогнутого гибкого стержня.

1. Траектория концевой точки 1 стержня подсчитывается по формулам:

, ,

где L – длина стержня. Примем L = 10 см. Однако при подсчете по приведенным формулам первые значения существенно отличаются от вторых: 0,000 – 9,948 и 10,000 – 0,929 соответственно, что приводит к появлению лишней линии на графике. Поэтому первую точку следует исключить оператором submatrix:

 x2 = submatrix(x1, 2, 12, 1, 1), y2 = submatrix(y1, 2, 12, 1, 1).

Траектория концевой точки 1 показана на рис. 2. Полученные значения координат х2 и у2 приведены в таблице.

№	х2 см.	у2 см.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11	9,948 9,793 9,534 9,175 8,716 8,158 7,500 6,736 5,845 4,164 3,105	0,929 1,849 2,759 3,620 4,455 5,246 5,988 6,679 7,325 7,948 8,711

 

Рис. 2

2. Прогибы стержня: горизонтальный u = L – x2, вертикальный v = y2.

3. Угол наклона касательной в концевой точке 1 к оси х:

u₁ = z₁ - p / 2, где  (arcsin в MathCAD – asin).

 z₁⁰ = 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

90 98 106 114 122 130 138 146 154 162 170 178

  u₁⁰ = 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

0 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80 88

4. Зависимость силы от вертикального прогиба стержня (статическая характеристика). Примем жесткость стержня Н = 10⁴ Нсм², длину стержня L = 10 см. Сила подсчитывается по формуле

 Н.

№	1 2 3 4 5 6
Р Н	28,126 57,488 89,487 125,901 169,230 223,331
№	7 8 9 10 11
Р Н	294,780 396,228 556,735 867,877 2,073·103

Число значений Р следует согласовать с числом значений у2, устранив первое значение операцией P1 := submatrix(P, 2, 12, 1, 1). График зависимости Р1 = Р1(у2) приведен на рис.3.

Рис. 3

5. Изгибающий момент в заделке:

 Нсм. (Р₀ = 0).

Рис. 4

Зависимость М₀ = М₀(Р) приведена на рис. 4

6. Наибольшее напряжение в заделке. Примем поперечное сечение стержня в виде прямоугольника с толщиной h = 0,2 см, модуль упругости

Е = 2,1·10⁷ Н/см² (сталь углеродистая), длину стержня L = 10см. Наибольшее напряжение в заделке вычисляется по формуле

   Н/см².

 s₀ =

1 2 3 4 5 6 7

0 5,88·104 1,181·105 1,792·105 2,425·105 3,098·105 3,826·105

8 9 10 11 12

4,644·105 5,606·105 6,833·105 8,680·105 1,352·106

7. Зависимость силы от длины стержня. Примем жесткость стержня

Н = 10⁴ Нсм². Длину стержня зададим в виде ранжированной переменной L_j = 4,5 + 0,5·j см. Значения сил для заданных значений L вычисляем по формуле

 Н. Получим

L, см.	5,0 5,5 6,0 6,5 7,0 7,5 8,0 8,5
Р, Н	0 92,972 159,690 211,804 256,841 0,021 300,853 349,955
L, см.	8,5 9,0 9,5 10,0 10,5
Р, Н	408,000 489,170 616,880 867,877 1,881·103

Зависимость Р = Р(L) приведена на рис. 5.

Рис. 5

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

0 13,009 52,186 118,007 211,377 333,840 788,022 678,596 914,676 1,217·103 1,649·103 2,660·103

8. Внутренняя энергия изгиба подсчитывается по формуле

Нсм.

Значения внутренней энергии стержня приведены в таблице справа.

9. Уравнение упругой линии. Построим упругую линию для значений b = 1,122, k = 0,875, a = arcsin(k) = 61⁰, L = 10 см. По приведенной выше таблице или формуле определяем j₀ = 0,942 рад. (= 53,947⁰). Вычислим эллиптические интегралы (или возьмем из таблицы):

, Е0 = 0,844, F0 = 1,062.

Задав ранжированную переменную j = 1 ..11, определим дуговую координату s_j = (L/10)·(j – 1). Вычислим значение интеграла Fj по формуле:

  .

По значениям Fj определяем амплитуду j , используя таблицу 1 в [2, с. 322].

№	Fj	j1 рад
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11	1,062 1,174 1,286 1,399 1,511 1,623 1,735 1,847 1,960 2,072 2,174	0,942 1,018 1,091 1,160 1,226 1,288 1,348 1,405 1,461 1,516

При этом значения Fj и соответственно j могут не совпадать с табличными. Тогда прибегаем к линейной интерполяции по формуле

,

где F1 и F2 ближайшие меньшее и большее значения к Fj , j1 и j2 – значения аргумента, соответствующие F1 и F2. При этом число значений f уменьшится на единицу.

Текущие координаты упругой линии х и у вычисляются по формулам:

   см.;

   см.

Значения интеграла Еj определяют по формуле , а значения дуговой координаты s уменьшают на единицу для согласования с числом значений Еj : s1 = submatrix(s, 10, 1, 1). График упругой линии приведен на рис. 6.

Силу, отвечающую данному изгибу упругой линии, определяют по формуле P:= (b² / L²)·H (H). Так, при b = 1,122, L = 10 см. и Н = 10⁴ Нсм² получаем Р = 125,888 Н.

 

Рис. 6

Аналогично строят графики и для других значений задаваемых величин.