Расчет большого изгиба стержня в программе Mathcad

Расчет большого изгиба стержня в программе Mathcad

В статье рассматриваются особенности применения программы Mathcad на примере решения задачи большого изгиба стержня, содержащей эллиптические интегралы.

Аннотация статьи
программа Mathcad
эллиптические интегралы
большой изгиб стержня
Ключевые слова

Начиная с версии 15, в программе MathCAD появилась возможность вычислять эллиптические интегралы, что позволяет решать задачи, содержащие эти интегралы, не прибегая методам, изложенным в [2]. При этом возникают некоторые особенности применения программы, которые рассмотрим на примере задачи расчета большого изгиба упругого стержня, приведенной в [1, с. 111], рис. 1.

Рис. 1

Все обозначения и формулы взяты из [1].

Расчет в программе MathCAD целесообразно начать с задания значений модулярного угла 0 ≤ a < 900. При этом значение угла a = 900 следует избежать, так как при этом значение полного эллиптического интеграла F(k) = ∞, а для сохранения количества расчетных значений уменьшить шаг изменения угла a. Например, приняв ранжированную переменную i = 112, задаем значения угла ai = 41deg + 4deg·i и последовательно вычисляем модуль k, интегралы F(k), E(k), F(j0), E(j0), параметр j0, коэффициенты подобия b и w0 по формулам: ki = sinai ;

- полный эллиптический интеграл 1-го рода;   полный эллиптический интеграл 2-го рода; где z0 = p/2 – угловой коэффициент подобия;

- эллиптический интеграл 1-го рода;

 - эллиптический интеграл 2-го рода;

 - коэффициент подобия. Особенностью здесь является то, что в последующих формулах возникает ошибка «деление на ноль». В этой связи значение bi следует переопределить так: b1i = bi – 10-10, что не отражается на значениях bi, вычисляемых обычно до 3-4 знака после запятой.

 - параметр, связанный с моментом в точке 0 заделки балки (см. ниже). Вычисленные значения сведены в таблицу 1.

Таблица 1

a0

F(k)

E(k)

j00

F(j0)

E(j0)

b

w0

45

49

53

57

61

65

69

73

77

81

85

89

0,707

0,755

0,799

0,839

0,875

0,906

0,934

0,956

0,974

0,988

0,996

1,000

1,854

1,918

1,993

2,080

2,184

2,309

2,461

2,652

2,903

3,255

3,832

5,435

1,351

1,315

1,278

1,240

1,202

1,164

1,127

1,093

1,061

1,034

1,013

1,001

90,000

69,542

62,300

57,472

53,947

51,279

49,237

47,682

46,528

45,719

45,219

45,009

1,854

1,388

1,234

1,134

1,062

1,008

0,967

0,935

0,912

0,896

0,886

0,882

1,351

1,074

0,969

0,897

0,844

0,803

0,772

0,748

0,731

0,718

0,710

0,707

0,000

0,503

0,738

0,946

1,122

1,301

1,494

1,717

1,991

2,360

2,946

4,553

0,000

0,528

0,742

0,902

1,029

1,134

1.219

1.288

1.341

1,379

1,403

1,414

По полученным значениям величин определяются все геометрические и силовые параметры изогнутого гибкого стержня.

1. Траектория концевой точки 1 стержня подсчитывается по формулам:

, ,

где L – длина стержня. Примем L = 10 см. Однако при подсчете по приведенным формулам первые значения существенно отличаются от вторых: 0,000 – 9,948 и 10,000 – 0,929 соответственно, что приводит к появлению лишней линии на графике. Поэтому первую точку следует исключить оператором submatrix:

 x2 = submatrix(x1, 2, 12, 1, 1), y2 = submatrix(y1, 2, 12, 1, 1).

Траектория концевой точки 1 показана на рис. 2. Полученные значения координат х2 и у2 приведены в таблице.

х2 см.

у2 см.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

9,948

9,793

9,534

9,175

8,716

8,158

7,500

6,736

5,845

4,164

3,105

0,929

1,849

2,759

3,620

4,455

5,246

5,988

6,679

7,325

7,948

8,711

 

Рис. 2

2. Прогибы стержня: горизонтальный u = L – x2, вертикальный v = y2.

3. Угол наклона касательной в концевой точке 1 к оси х:

u1 = z1 - p / 2, где  (arcsin в MathCAD – asin).

 z10 = 

 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

90 98 106 114 122 130 138 146 154 162 170 178

  u10 = 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

0 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80 88

4. Зависимость силы от вертикального прогиба стержня (статическая характеристика). Примем жесткость стержня Н = 10Нсм2, длину стержня L = 10 см. Сила подсчитывается по формуле

 Н.

1 2 3 4 5 6

Р Н

28,126 57,488 89,487 125,901 169,230 223,331

7 8 9 10 11

Р Н

294,780 396,228 556,735 867,877 2,073·103

Число значений Р следует согласовать с числом значений у2, устранив первое значение операцией P:= submatrix(P, 2, 12, 1, 1). График зависимости Р1 = Р1(у2) приведен на рис.3.

Рис. 3

5. Изгибающий момент в заделке:

 Нсм. (Р0 = 0).

Рис. 4

Зависимость М0 = М0(Р) приведена на рис. 4

6. Наибольшее напряжение в заделке. Примем поперечное сечение стержня в виде прямоугольника с толщиной h = 0,2 см, модуль упругости

Е = 2,1·107 Н/см(сталь углеродистая), длину стержня L = 10см. Наибольшее напряжение в заделке вычисляется по формуле

   Н/см2.

 s0 =

1 2 3 4 5 6 7

0 5,88·104 1,181·105 1,792·105 2,425·105 3,098·105 3,826·105

8 9 10 11 12

4,644·105 5,606·105 6,833·105 8,680·105 1,352·106

7. Зависимость силы от длины стержня. Примем жесткость стержня

Н = 104 Нсм2. Длину стержня зададим в виде ранжированной переменной Lj = 4,5 + 0,5·j см. Значения сил для заданных значений L вычисляем по формуле

 Н. Получим

L, см.

5,0 5,5 6,0 6,5 7,0 7,5 8,0 8,5

Р, Н

0 92,972 159,690 211,804 256,841 0,021 300,853 349,955

L, см.

8,5 9,0 9,5 10,0 10,5

Р, Н

408,000 489,170 616,880 867,877 1,881·103

Зависимость Р = Р(L) приведена на рис. 5.

Рис. 5

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

0

13,009

52,186

118,007

211,377

333,840

788,022

678,596

914,676

1,217·103

1,649·103

2,660·103

8. Внутренняя энергия изгиба подсчитывается по формуле

Нсм.

Значения внутренней энергии стержня приведены в таблице справа.

9. Уравнение упругой линии. Построим упругую линию для значений b = 1,122, k = 0,875, a = arcsin(k) = 610L = 10 см. По приведенной выше таблице или формуле определяем j0 = 0,942 рад. (= 53,9470). Вычислим эллиптические интегралы (или возьмем из таблицы):

Е0 = 0,844, F0 = 1,062.

Задав ранжированную переменную j = 1 ..11, определим дуговую координату sj = (L/10)·(j – 1). Вычислим значение интеграла Fj по формуле:

  .

По значениям Fj определяем амплитуду j , используя таблицу 1 в [2, с. 322].

Fj

jрад

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

1,062

1,174

1,286

1,399

1,511

1,623

1,735

1,847

1,960

2,072

2,174

0,942

1,018

1,091

1,160

1,226

1,288

1,348

1,405

1,461

1,516

 

При этом значения Fj и соответственно j могут не совпадать с табличными. Тогда прибегаем к линейной интерполяции по формуле

,

где F1 и F2 ближайшие меньшее и большее значения к Fj , j1 и j2 – значения аргумента, соответствующие F1 и F2. При этом число значений f уменьшится на единицу.

Текущие координаты упругой линии х и у вычисляются по формулам:

   см.;

   см.

Значения интеграла Еj определяют по формуле , а значения дуговой координаты s уменьшают на единицу для согласования с числом значений Еj : s1 = submatrix(s, 10, 1, 1). График упругой линии приведен на рис. 6.

Силу, отвечающую данному изгибу упругой линии, определяют по формуле P:= (bL2H (H). Так, при b = 1,122, L = 10 см. и Н = 104 Нсм2 получаем Р = 125,888 Н.

 

Рис. 6

Аналогично строят графики и для других значений задаваемых величин.

Текст статьи
  1. Попов, Е.П. Теория и расчет гибких упругих стержней [Текст] / Е.П. Попов. – М. : «Наука», 1986. – 294 с.
  2. Сикорский, Ю.С. Элементы теории эллиптических функций [Текст] / Ю.С. Сикорский // URSS. – М., 2010. – 365 с.
Список литературы
Ведется прием статей
Прием материалов
c 24 июля по 30 июля
Сегодня — последний день приема
Публикация электронной версии статьи происходит сразу после оплаты
Справка о публикации
сразу после оплаты
Размещение электронной версии журнала
03 августа
Загрузка в eLibrary
03 августа
Рассылка печатных экземпляров
11 августа