О спектре оператора Лапласа-Бельтрами на двухмерной сфере

О спектре оператора Лапласа-Бельтрами на двухмерной сфере

В статье исследуются свойства резольвенты возмущенного оператора Лапласа-Бельтрами на двухмерной сфере, для чего доказывается возможность перейти к рассмотрению изначально более простого оператора, чьи собственные функции хорошо исследованы.

Аннотация статьи
резольвента
оператор Лапласа-Бельтрами
возмущенный оператор
Ключевые слова

В настоящей работе производится изучение оператора Лапласа-Бельтрами L0, определяемого по формуле:

, (1) 

и его возмущения  в , где V – оператор умножения на функцию .

Прежде асимптотика спектра и формула следов данных операторов изучались в различных трудах, причем формула следов была получена при условии  (см., например, [1]). Дальнейшее ослабление требований на возмущение  связано с более подробным знанием свойств ядра  невозмущенной резольвенты , которые мы и намерены изучить.

Известно, что ядро    равно

, (2)

где α - угол между векторами , Pn(x) - полином Лежандра, нормированный условием Pn(1)=1, а  есть ядро ортогонального проектора Ρn, проектирующего на собственное подпространство, соответствующее собственному числу λn=n(n+1). Кратность λn равна 2n+1.

С другой стороны, известно (см., например, [2], с.66-71), что последовательность

, n=0,1,..  (3)

образует ортонормированный базис собственных функций обыкновенного дифференциального оператора M в , порожденного дифференциальным выражением

 (4)

и нулевыми граничными условиями в точках α=0 и α=π , причем fn(α)    есть собственная функция оператора M, соответствующая собственному числу .

Так что, согласно (3), ядро G(α,α0,z)  интегрального оператора  G(z)=(M-z)-1 представляется в виде

   (5)

Положим

  (6)

Тогда из (5) следует, что

(7)

Сравнивая (2) и (7) между собой, мы видим, что если подставить в  Г(α,α0,z) значения α0=0 и , то получившаяся величина будет совпадать с R0(ω,ω0,λ) с точностью до множителя . Учитывая всё вышесказанное, мы приходим к следующему утверждению.

Лемма 1.

Для всех  и   ядро  представляется в виде

 (8)

Таким образом, из равенств (6)-(8) видно, что ядро  может быть представлено посредством решений обыкновенного дифференциального уравнения

   (9)

на интервале 

Вначале заметим, что на промежутке (0,π/2]  справедливо равенство , (10)

где  . Из (3)-(10) вытекает, что линейно независимые решения уравнения (9) можно построить с помощью решений уравнения

  (11)

В качестве линейно независимых решений «невозмущенного» уравнения (11) возьмем функции(см. [2])

, (12)

где   и   и - соответственно, функции Бесселя первого и второго рода, - сколь угодно малое фиксированное число. Хорошо известно, что вронскиан

 (13)

Теперь в качестве линейно независимых решений уравнения (9) на промежутке  рассмотрим решения неоднородных вольтерровых уравнений

, (14)

где    (15)

В итоге мы свели процесс изучения свойств ядра к свойств функций, выражающихся через функции Бесселя, чьи свойства достаточно хорошо изучены. Полученный переход позволяет нам значительно упростить решение изначально поставленной задачи, о чем будет подробнее рассказано в последующих работах.

Текст статьи
  1. Садовничий В.А., Фазуллин З.Ю. Диф. ур-я. 201 Т. 37, № 3. C. 402-409.
  2. Лебедев Н.Н. Специальные функции и их приложения. М., 1963.
Список литературы
Ведется прием статей
Прием материалов
c 15 мая по 21 мая
Осталось 4 дня до окончания
Публикация электронной версии статьи происходит сразу после оплаты
Справка о публикации
сразу после оплаты
Размещение электронной версии журнала
25 мая
Загрузка в eLibrary
25 мая
Рассылка печатных экземпляров
02 июня