Дискретное управление на примере односекторной модели экономики

Введение. Вопросам оптимального управления для моделей экономики посвящены работы многих исследователей [1,3-5]. В основном рассматривается непрерывное управление. Представляет интерес сравнение алгоритмов непрерывного и дискретного методов управлений.

Уравнение Солоу записывается в виде

,      .  (1)

В этом уравнении  – объем основных фондов в момент времени t,  – затраты на трудовые ресурсы. Параметрами уравнения являются: μ>0 – темп выбытия основных фондов, А – коэффициент, учитывающий уровень технического прогресса, 0≤σ≤1 – доля инвестиций на обновление основных фондов, α,β – параметры производственной функции, которая принята в виде функции Кобба-Дугласа:

.

На рис. 1(а) изображена схема финансовых потоков. Баланс финансовых потоков определяется равенством

,

где , .

Рис. 1. (а) Схема финансовых потоков; (б) Дискретное время

В [4] рассмотрена следующая задача: найти такое управление , при котором за время  капитал  вырастет от  до . При этом интегральный функционал

    (2)

примет минимальное значение.

Математическая формулировка непрерывной задачи имеет вид:

,     (3)

,   ,   (4)

.     (5)

Система уравнений Эйлера для расширенного функционала задачи (3)-(5) приводилась к следующему виду:

,   ,

.

Для поиска решения представленной системы уравнений применялась явная схема численного метода Эйлера.

1. Дискретная задача. На практике изменение управляющей переменной L(t) возможно только в определенные моменты времени и принятая величина не меняется некоторый конечный период времени.

При переходе к дискретной задаче выполняются преобразования:

1. Непрерывная область изменения времени заменяется дискретной, то есть [0,T] отрезок заменяется дискретным множеством точек (рис. 1(б)):

, .

2. Производная заменяется разностным отношением и, таким образом, получаем дискретную задачу

,    (6)

,   ,      (7)

 .        (8)

Необходимо найти такое управление , , при котором за время  капитал  вырастет от значения  до значения . При этом функционал (8) примет минимальное значение.

При условии , где  при , интеграл (8) можно преобразовать, тогда вместо (8) получим условие

 .      (9)

Заметим, что   – функция N переменных.  Переменные K₁, K₂,...,K_N  содержатся в уравнении связи (6). Таким образом, сформулирована задача на условный экстремум функции многих переменных. Для поиска решения воспользуемся методом множителей Лагранжа [2, 6].

Составляем функцию Лагранжа:
.

Запишем необходимые условия существования экстремума

,   ,  ,  .

Приравнивая к нулю производные, получаем уравнения

 ,    (10)

 ,       (11)

 .        (12)

Кроме того, должны выполняться условия:

,    (13)

Рассмотрим алгоритм решения системы уравнений (10)-(12).

Из уравнения (10) выражаем L_i-1≠0:

   (14)

При заданном значении λ₀ находим L₀.

Из (11) следует (при i=1,2,...,N-1)

 (15)

Из уравнения (12) находим

При известных значениях K_i, L_i-1 и λ_i-1 строится итерационный процесс:

, ,   (16)

,   .  (17)

Решение задачи (10)-(13) зависит от выбора начального значения . Методом вариации данного начального значения находится такое значение , при котором . Для реализации метода вариации начального значения λ₀ составляем целевой функционал

,  (18)

где ω  – постоянная.

Минимум функционала (18) определяется итерационным процессом:

,   .  (19)

2. Алгоритм решения дискретной задачи. Функциональная схема программы в системе Mathcad приведена на рис.2.

Рис. 2. Функциональная схема программы

В программе функция L(K, l) определяет оптимальное значение трудовых ресурсов (14); Dif(N, f, F, λ₀) предназначена для решения системы уравнений (10)-(12); f(K, L ) – правая часть уравнения (12); F(K, L, l ) – правая часть уравнения (14); Iter(K, L, λ) – реализует итерационный процесс на каждом временном шаге для поиска решения системы (10)-(12); U(N, λ₀ ,Y_ν) – вычисляет отклонение второго краевого условия от заданного значения. Управление методом градиентного спуска реализовано в блоках GRADU(… ) и GRAD(…). Результаты вычислений представлена на рис. 3, 4.

Рис. 3. (а) Оптимальный рост К: 1 – непрерывное управление; 2 – дискретное управление; (б) целевая функция в итерационном процессе

Оптимальное управление представлено на рис. 4. Следует отметить, что с увеличением числа шагов разность между непрерывным и дискретным управлением уменьшается.

Рис. 4. Оптимальное управление: 1 – непрерывное, 2 – дискретное; (а) N=2 (б) N=4

Результаты сравнения значений затрат трудовых ресурсов при дискретном и непрерывном управлении приведены в таблице.

Таблица

Отношение оптимальных затрат в зависимости от количества промежутков

Число временных промежутков при дискретном управлении	2	4	10	20
Отношение оптимальных затрат	0,834	0,926	0,979	0,947

Основные выводы

1. Составлен алгоритм решения задачи дискретного оптимального управления для односекторной модели экономики. Построен итерационный процесс решения системы нелинейных алгебраических уравнений на каждом временном шаге.
2. Разработана программа в системе Mathcad, реализующая алгоритмы дискретного и непрерывного управлений. Программа проверена в широком диапазоне параметров.
3. Сравнительный анализ решений дискретного и непрерывного оптимальных управлений продемонстрировал существенное расхождение оптимальных решений при малом числе шагов для дискретного варианта. Оптимальные затраты трудовых ресурсов оказались меньше на 10…15% при дискретном управлении.