Треугольник Рёло

Треугольник Рёло

В статье рассматриваются свойства треугольника Рёло, их практическое применение. В настоящее время треугольник Рёло является фигурой большой ширины, так как его применение позволяет сократить затраты при производстве, например, при конструировании деталей.

Аннотация статьи
фигура
треугольник Рело
квадрат
Ключевые слова

Треугольник Рело по-другому еще называют «круглым» треугольником. Он представляет собой область пересечения трех равных кругов с центрами в вершинах правильного треугольника и радиусами, равными его стороне. Его строят последовательным проведением трех равных окружностей. Нужно провести две окружности с одинаковым радиусом, но так, чтобы центр второй совпадал с одной из точек первой (кроме центра). Проводим третью окружность, так что бы её центр совпадал с точкой пересечения первых окружностей. Область, которая принадлежит всем трем кругам и есть треугольник Рёло. Строят его с помощью одного только циркуля. Покажем на рис. 1.

Рис. 1

Треугольник Рёло является плоской выпуклой геометрической фигурой. Через каждую вершину треугольника Рёло, в отличие от остальных его граничных точек, проходит не одна опорная прямая, а бесконечное множество опорных прямых. Пересекаясь в вершине, они образуют «пучок». Угол между крайними прямыми этого «пучка» называется углом при вершине. Для фигур постоянной ширины угол при вершинах не может быть меньше 120°. Единственная фигура постоянной ширины, имеющая углы, равные в точности 120° – это треугольник Рёло.

Если провести две параллельные прямые на некотором расстоянии, то фигура при качении будет касаться обеих прямых постоянно. Расстояние между ними и будет фигура постоянной ширины. Простейшей такой фигурой будет круг.

Рис. 2

Пусть а – это ширина фигуры, тогда площадь

а периметр

 (рис. 2).

Также, треугольник Рёло используется в автомобильных двигателях, в грейферном механизме в кинопроекторах, в кулачковых механизмах швейных машин, механизме наручных часов. В форме треугольника Рёло можно изготавливать крышки для люков. Форма треугольника Рёло используется и в архитектурных целях. Например, построенная в 2006 году в Кёльне 103-метровая башня под названием «Кёльнский треугольник» в сечении представляет собой именно эту фигуру. Свойство треугольника Рело – качение по квадрату, позволяет применять его в интересных областях (рис. 3).

Рис. 3

Треугольник Рёло вписан в квадрат и может вращаться в нём, постоянно касаясь всех четырёх сторон. Каждая вершина треугольника при его вращении «проходит» почти весь периметр квадрата, отклоняясь от этой траектории лишь в углах – там вершина описывает дугу эллипса. Центр этого эллипса расположен в противоположном углу квадрата, а его большая и малая оси повёрнуты на угол в 45° относительно сторон квадрата и равны (рис.3).

Рис. 4

Все 4 эллипса касаются смежных сторон квадрата на расстоянии  от угла (рис.4).

Среди всех многоугольников Рёло с фиксированным числом сторон и одинаковой шириной правильные многоугольники ограничивают. Если к треугольнику Рёло провести пару параллельных опорных прямых, то независимо от выбранного направления расстояние между ними будет постоянным. Это расстояние называется шириной. Поскольку одна из прямых всегда проходит через вершину треугольника, а другая касается противоположной дуги, то ширина треугольника равна радиусу образующих его кругов (рис. 5) наибольшую площадь.

Рис. 5

Открытие треугольника Рёло сделало переворот в научно-техническом мире, так как отличительные его свойства находят множество применений.

Текст статьи
  1. Болтянский В.Г., Яглом И.М. Выпуклые фигуры. М.–Л.: ГТТИ, 1951. – 343 с.
  2. Радемахер Г., Теплиц О. Числа и фигуры. М.: Физматгиз, 1962. – 263 с.
  3. Радемахер Г., Тёплиц О. Опыты математического мышления / Пер. с нем. В.И. Контовта. – М.: Физматгиз, 1962. – С. 195–211. – 263 с. – («Библиотека математического кружка», выпуск 10).
  4.  [Электронный ресурс] – Режим доступа. – URL: http://ru.wikipedia.org/wiki/Треугольник_Рёло (дата обращения 22.04.13).
Список литературы
Ведется прием статей
Прием материалов
c 17 апреля по 23 апреля
Осталось 4 дня до окончания
Публикация электронной версии статьи происходит сразу после оплаты
Справка о публикации
сразу после оплаты
Размещение электронной версии журнала
27 апреля
Загрузка в eLibrary
27 апреля
Рассылка печатных экземпляров
05 мая