Определение интегрирующего множителя полного дифференциала второго порядка

Возможность понижения порядка в дифференциальном уравнении является одним из видов уравнений в полных дифференциалах. Пусть нам задано обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка:

.       (1)

Определение. Если существует такая функция  в рассматриваемой области и имеет место равенство:  

,        (2)

тогда уравнение (1) называют уравнением в полных дифференциалах.

Если уравнение (1) является уравнением в полных дифференциалах, тогда на основе равенства (2) можно записать

.

Интегрируя это равенство, получим дифференциальное уравнение первого порядка:  

.

В некоторых уравнениях (1) не выполняются условие полного дифференциала, тогда найдётся такая функция , что после умножения на данное уравнение это уравнение будет удовлетворять условию полного дифференциала. В таком случае, функция  называется интегрирующим множителем.

Однако, нужно уточнить, что не для каждого дифференциального уравнения будет существовать интегрирующий множитель.

Приведём примеры, где используется интегрирующий множитель для дифференциального уравнения второго порядка:

Пример 1. Найти решение для уравнения:  

Программа Maple

Для определения данного уравнения, необходимо выполнять последовательно все команды:

restart; with(DEtools):   PDEtools [declare] (y(x), prime=x);

Запишем уравнение в полных дифференциалах второго порядка с помощью программы Maple в виде:

>ODE2:=;

Уравнение выглядит ODE2:=.

Чтобы определить интегрирующий множитель для данного уравнения, введём команду intfactor [2, с.75]:

>mu:=intfactor(ODE2);    

Отдельное определение интегрирующих множителей:

>mu1:=mu[1];  mu2:=mu[2];  mu3:=mu[3];    

Первый интегрирующий множитель умножаем на данное уравнение, а затем определяем его тип:

>odeadvisor(mu[1]*ODE2);

>R1:=firint(mu[1]*ODE2,y(x));           

а) нахождение интегрирующего множителя для новообразованного уравнения R1:

>muR1:=intfactor(R1);                           

б) понижение порядка в уравнении R1 с помощью первого интегрирующего множителя muR1, а также нахождение решения этого уравнения:

>R11:=firint(muR1*R1,y(x));     

>solve((R11, y(x));   .

Второй интегрирующий множитель умножаем на данное уравнение, а затем определяем его тип:

>R2:=firint(mu[2]*ODE2,y(x));                 

а) нахождение интегрирующего множителя для новообразованного уравнения R2:

>mu:=intfactor(R2);    muR2:=x.                           

б) понижение порядка в уравнении R2 с помощью второго интегрирующего множителя muR2, а также нахождение решения этого уравнения:

>R22:=firint(muR2*R2,y(x));          

>solve(R22, y(x));  .

>R3:=firint(mu[3]*ODE2, y(x)); 

Для данного уравнения не существует общее решение.

Пример 2. Найти решение для уравнения: 

Программа Maple

Для определения данного уравнения, необходимо выполнять последовательно все команды:

restart; with(DEtools):    PDEtools [declare] (y(x), prime=x);

Запишем уравнение в полных дифференциалах второго порядка с помощью программы Maple в виде:

>ODE2:= 

Уравнение выглядит ODE2:=.

Чтобы определить интегрирующий множитель для данного уравнения, введём команду intfactor [2, с. 75].

Определение интегрирующего множителя для заданного уравнения:

>mu:=intfactor(ODE2);     μ:=y,xy​​​ 

Отдельное определение интегрирующих множителей:

>mu1:=mu[1];  mu2:=mu[2];  μ1:=y    μ2:=xy

Первый интегрирующий множитель умножаем на данное уравнение, а затем определяем его тип:

>odeadvisor(mu[1]*ODE2);

>R1:=firint(mu[1]*ODE2,y(x));    

а) нахождение интегрирующего множителя для новообразованного уравнения R1:

>muR1:=intfactor(R1);        muR1:=1    

то есть уравнение R1 удовлетворяет условию для полного дифференциала, поэтому не существует интегрирующий множитель [1, с. 33].

б) понижение порядка в уравнении R1 с помощью первого интегрирующего множителя muR2, а также нахождение решения этого уравнения:

>R11:=firint(muR1*R1,y(x));   

>solve(R11,y(x)); .

Второй интегрирующий множитель умножаем на данное уравнение, а затем определяем его тип:

>R2:=firint(mu[2]*ODE2,y(x));          

а) нахождение интегрирующего множителя для новообразованного уравнения R2:

>muR2:=intfactor(R2);                     

б) понижение порядка в уравнении R2 с помощью второго интегрирующего множителя muR2, а также нахождение решения этого уравнения:

>R22:=firint(muR2*R2,y(x));  

>solve(R22,y(x));    .

1. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения (4-е изд.). М.: Наука, 1974.
2. Дьяконов В. MAPLE 7: УЧЕБНЫЙ КУРС СПб.: Питер, 2002. 672 с.