Об одной задаче на собственные значения

Пусть Ω – конечная односвязная область плоскости xOy, ограниченная отрезками

,

,

,

и дугами 

,

,

а

,

,

, .

В области Ω рассмотрим уравнение

, (1)

здесь α – заданное число, причем, , а λ – параметр.

Задача. Найти значения параметра λ и соответствующие им нетривиальные в  функции , удовлетворяющие уравнению (1) в области  и условиям

,         ;   (2)

,          ;        (3)

,          ;        (4)

,  ;  , ; (5)

, ;   , .        (6)

Считая λ≠0, нетривиальные в области  решения  задачи ищем в виде , где , , , . Тогда, из (1) получим уравнения

,        ;           (7)

,        ,       (8)

где , а μ – константа разделения.

Пользуясь общими решениями уравнений (7) и (8), находим, что нетривиальные и непрерывные в  решения уравнения (1) имеют вид [1]

,        (9)

где , , ,  – функция Бесселя первого рода, F(a,b,c;z)- гипергеометрическая функция Гаусса.

Из (9) следует, что

 (10)

где ,    ,

,  .

В области  введем в рассмотрение функцию

,                     (11)

где , . Если , . Функция  удовлетворяет условиям ,

, ,   ,  .    (12)

Производя замену , ;,  и применяя метод разделения переменных , находим решения задачи (12) в области Ω11:

, . 

Отсюда, в силу обозначения (11) и условий (3), (6), имеем

         (13)

,   .

Аналогично, используя условиям (4), (5), получим соотношения:

    (14)

Подставляя (10) в (13), (14) и полагая , находим

,          (15)

,   ,   .      (16)

Подставляя выражение  в равенство (15), получим уравнение . Решениями этого уравнения, удовлетворяющими условию , являются числа , n∈N, где .

Подставляя в (11)  и , а затем, удовлетворяя условию , , получим , n∈N.

Известно, что  при ν>-1 имеет только действительные корни. Обозначая через -ный положительный корень уравнения , находим собственные значения , n,m∈N задачи и соответствующие им собственные функции в области :

, ,

где  – произвольные постоянные, а .

Аналогично, исследуется задача, в том случае, когда (5), (6) заменены условиями , ; ,  и , ;  , . При этом , , , где .

Собственные функции этих двух задач в областях гиперболичности уравнения (1) находятся как решения видоизменённой задачи Коши для уравнения (1) [2].