Модель торцевого уплотнения с учетом нелинейного сопротивления и импульсной осевой нагрузки

Задачи обеспечения надежного уплотнения центробежных насосов остаются актуальными, особенно если утечки агрессивной жидкости приводят к большим экологическим и экономическим проблемам. Одними из наиболее перспективных считаются торцевые уплотнения (рис.1). Моделированию динамики торцевых уплотнений посвящены работы ряда исследователей [1-4]. В основном авторы работ рассматривали дискретные модели и определялись характеристики собственных колебаний при наличии осевых нагрузок со стороны вала насоса. Представляет интерес динамика изменения характеристик уплотнения в случае нелинейной зависимости сопротивления между подвижным и неподвижным уплотнительными кольцами. При этом важно вычислять зазор, уменьшение или увеличение которого приводит к потере работоспособности уплотнения.

На рис. 2 показана расчетная схема торцевого уплотнения.

Рис. 1. Схема торцевого уплотнения: 1 – вал насоса; 2 – корпус насоса; 3 – гильза; 4 – вращающееся уплотнительное кольцо; 5 – неподвижное уплотнительное кольцо; 6 – пружина, 7 – зазор между кольцами

Рис. 2. Расчетная схема осевых колебаний торцевого уплотнения: m – масса подвижного кольца, x(t) – перемещение подвижного кольца, L – положение равновесия

Коэффициент упругого сопротивления определяется по формуле

    (1)

где c₁, c₂  – коэффициенты упругого сопротивления жидкости в зазоре и пружины.

Диссипативное сопротивление также нелинейно зависит от перемещения

     (2)

Здесь b₁, b₂  – коэффициенты, учитывающие демпфирование жидкости и трение элементов уплотнения. Уравнение движения дискретного элемента, с учетом осевой нагрузки H(t), и начальные условия имеют вид

,  ,     (3)

 ,      (4)

 .     (5)

Величина рабочего зазора δ(t) между кольцами определяется по формуле

.     (6)

Начальная задача для дифференциального уравнения второго порядка сводится к начальной задаче для системы двух уравнений первого порядка:

,  ,     (7)

 ,     (8)

,     (9)

.    (10)

Основные параметры, определяющие жесткое и диссипативное сопротивления представлены на рис. 3. Скачок коэффициентов сопротивления имитирует контактное взаимодействие уплотнительных колец.

Рис. 3. Основные параметры, определяющие жесткое и демпфирующее сопротивление:
c₁=5000 H/м; c₂=50000 Н/м; m=0,8кг; b₁=10 Нс/м; b₂=150 Нс/м; L=0,02 м; L₁=0,019 м

Решение начальной задачи находится с помощью встроенных функций системы Mathcad. Для сравнения приводится решение, при котором жесткое сопротивление не зависит от перемещения.

а

б

Рис. 4. а) Реализация метода Рунге-Кутта в системе Mathcad; б) Скорость дискретного элемента: (1) при наличии нелинейного сопротивления; (2) при наличии линейного сопротивления

В целях тестирования численного метода рассмотрим начальную задачу с уравнением движения, в котором учитывается только нелинейное жесткое сопротивление

, ,     (11)

,       (12)

.       (13)

Выполним подстановку , тогда получим задачу

,      (14)

y0=0,    (15)

0.     (16)

Подстановкой  понижается порядок уравнения, в результате получаем уравнение первого порядка с разделяющимися переменными

.

После интегрирования и обратной замены получаем

     (18)

Постоянные А и В находятся из начальных условий и условия непрерывности скорости при x=L₁.

Аналитическое решение при наличии только жесткой составляющей имеет вид

     . (19)

Сравнение решений в фазовых координатах показано на рис.5,а. На рис.5,б приведено изменение по времени величины зазора при начальной импульсной нагрузке.

а

б

Рис. 5. а) Сравнение аналитического решения без демпфирования (1) и численного решения с демпфированием (2); б) Изменение величины зазора при начальном импульсе

Постоянно действующая импульсная осевая нагрузка определялась формулой

    (20)

Параметры P,ω,n позволяют менять амплитуду и частоту колебаний осевой силы. На рис. 6 показана импульсная нагрузка и колебания скорости подвижного уплотнительного кольца.

а

б

Рис. 6. а) Импульсная нагрузка б) Колебание скорости подвижного кольца

На рисунке 7 показаны колебания величины зазора при постоянно действующей импульсной осевой нагрузке со стороны вала насоса.

Рис. 7. Колебания зазора при импульсной осевой нагрузке

Заключение

1. Применение одномассовой модели с учетом нелинейного сопротивления позволяет получить основные характеристики колебательного процесса элементов торцевого уплотнения при различных характеристиках жесткости и диссипации.
2. Получено аналитическое решение начальной задачи в координатах «скорость-перемещение», что позволило сравнить это решение с численным решением и, таким образом, обосновать достоверность численного метода.
3. Решение начальной задачи найдено при двух типах осевых нагрузок: осевом начальном импульсе и периодическом осевом импульсе, частота и амплитуда которого моделируются специально заданной функцией.