Аппроксимация кривой расходов в гидрометрическом створе р. Ия – г. Тулун параболой Глушкова

В статье обсуждаются вопросы, связанные с аппроксимацией кривых расхода параболой Глушкова, на примере кривой расхода для гидрометрического створа р. Ия – г. Тулун. Приведен расчет параметров параболы Глушкова и дается оценка точности аппроксимации кривой расходов путем вычисления значения среднего вероятного отклонения.

Аннотация статьи
река Ия
кривая расхода
парабола Глушкова
Ключевые слова

Цель работы – выполнить аппроксимацию зависимости расходов от уровней в гидрометрическом створе р. Ия – г. Тулун в виде аналитического выражения в форме параболы В. Г. Глушкова. Известно, что для подсчета стока и определения ежедневных расходов воды используются кривые расходов, которые служат графическим представлением зависимости наблюденных расходов и уровней воды в конкретном гидростворе. Указанная выше связь расходов и уровней определяется в результате совокупности многократных дискретных измеренных уровней и расходов воды в конкретном гидрометрическом створе [2].

Для автоматизации процесса подсчета стока и производства расчетов ежедневных расходов воды необходимо представить кривую расходов в виде аналитического выражения. Как правило, для аппроксимации кривой расходов используют или параболу Глушкова, или полиномиальную зависимость. Парабола Глушкова в целом показывает хорошее натурным данным и была выбрана в качестве аналитического выражения в рамках данной работы.

Русло р. Ии в створе гидропоста г. Тулуна, расположенного в Иркутской области, соответствует условиям наличия однозначной зависимости между расходом и уровнем воды, при которой одному конкретному уровню соответствует одно конкретное значение расхода воды. Кривая расхода, устанавливающая в графическом виде связь между расходами и уровнями воды, в гидрометрическом створе поста р. Ия – г. Тулун представлена на рис. а. Данная кривая получена по измеренным расходам в заданном гидростворе и экстраполирована вверх с применением способа «по элементам расхода». Способ состоит в том, что до требуемого уровня достраивается кривая площадей, которая в данной работе построена с применением данных радиолокационной топографической съемки SRTM (Shuttle radar topographic mission) [1] и показана на рис. б. Кривая средних скоростей в рамках исследования экстраполирована до требуемых значений по линейному уравнению, определенному средствами MS Excel (см. рис. в). Расход воды определяется как произведение площади поперечного сечения и средней скорости при конкретном уровне.

Рис. Кривые расхода (а), площадей (б), средних скоростей (в) в створе гидропоста р. Ия – г. Тулун

В ходе работы для аппроксимации кривой расходов использована парабола Глушкова, выражающая зависимость расходы от уровня в следующеи виде [2]:

,    (1)

где – расход воды, м³/с; H – наблюденный уровень воды, см; H0 – уровень нулевого расхода, при котором расход воды в данном створе равен нулю, см;  и n – параметры уравнения, определяемые в рамках работы по опорной кривой расходов (см. рис. а).

Как правило, отметка нуля графика гидропоста не соответствует уровню нулевого расхода. Отметка нулевого расхода может быть определена по результатам промерных работ, но ее определение на практике бывает затруднено и требует привлечения дополнительных морфометрических материалов, которые часто оказываются недоступными без выполнения дополнительных полевых работ. В этом случае уровень нулевого расхода находится аналитически путем решения системы уравнений, написанных для трёх точек: одной, расположенной в нижней части кривой расходов (Q1H1), второй - в верхней части (Q2; H2). Абсциссу третьей точки находят как  и по ней c кривой расхода находится ордината H3. Из этих соображений находят уровень нулевого расхода как:

.     (2)

В таблице (табл. 1) приведены координаты точек 1-3 и по формуле (1) получено значение нулевого расхода, равное 9 см.

Таблица 1

Координаты точек 1-3 для определения уровня нулевого расхода

№ точки

Расход воды Q, м3

Уровень воды H, см

1

841

629

2

23060

1929

3

4404

1100

После этого методом наименьших квадратов ведётся определение параметров параболы Глушкова a и n. Для этого вычисляются следующие определители матриц:

;     (3)

 

;    (4)

 

.     (5)

 

По методу Крамера находим и n:

    (6)

ю     (7)

Проведем оценку средней вероятной ошибки построения кривой расходов в форме таблицы (табл. 2) путем сопоставления с координатами опорной кривой расходов (см. рис. а).

Таблица 2

Проверка ошибки аппроксимации кривой расходов аналитической зависимостью по формуле Глушкова

№ расхода

H, см

Q1, м3/с по опорной кривой расходов

Q2, м3/с по формуле Глушкова

ΔQ, м3

Δσ, %

Δσ2, (%)2

1

629

841

817

-23

-2,9

8,2

2

729

1272

1270

-2

-0,2

0,0

3

829

1846

1863

17

0,9

0,9

4

929

2589

2616

27

1,0

1,0

5

1029

3518

3546

29

0,8

0,6

6

1129

4647

4672

25

0,5

0,3

7

1229

5996

6012

16

0,3

0,1

8

1329

7575

7584

9

0,1

0,0

9

1429

9405

9415

10

0,1

0,0

10

1529

11512

11506

-6

-0,1

0,0

11

1629

13914

13882

-32

-0,2

0,1

12

1729

16634

16562

-72

-0,4

0,2

13

1829

19687

19563

-124

-0,6

0,4

14

1929

23060

22903

-157

-0,7

0,5

 σ, %

0,6

Аппроксимация кривой формулой Глушкова отклоняется от опорной кривой расхода на 0,6 %. Также полученная аппроксимация проверена путем сопоставления с эталонной кривой, за которую в рамках работы принята кривя расходов по многолетним данным, составленная в Иркутском управлении по гидрометеорологии и мониторингу окружающей среды, на участке, освященный данными натурных измерений расходов. Среднее вероятное отклонение от эталонной кривой, составляет 4,0 %, как и у опорной кривой, экстраполированной способом «по элементам расхода». Результаты работы демонстрируют возможность использования полученного аналитического выражения в практическом приложении.

Текст статьи
  1. Антонова Т.И., Сутырина Е.Н., Михайлов В.В. Восстановления кривой площадей в створе гидропоста река Ия – город Тулун с применением цифровой модели рельефа по данным радиолокационной топографической съёмки // Актуальные исследования, 2021. № 31 (58). С. 13-16.
  2. РД 52.08.872-2018. Оперативный учет стока на водотоках. Методы обработки наблюдений за уровнями и расходами воды. СПб. 2018. 107 с.
Список литературы
Ведется прием статей
Прием материалов
c 25 сентября по 01 октября
Осталось 5 дней до окончания
Публикация электронной версии статьи происходит сразу после оплаты
Справка о публикации
сразу после оплаты
Размещение электронной версии журнала
05 октября
Загрузка в eLibrary
05 октября
Рассылка печатных экземпляров
13 октября