научный журнал «Актуальные исследования» #50 (77), декабрь '21

Повышение точности МНК в решении навигационных задач

В статье рассматриваются весовые методы обработки навигационных данных, производится сравнение эффективности.

Аннотация статьи
весовой МНК
СКО
функция Коши
RAIM
Ключевые слова

При решении радионавигационной задачи используется дальномерный метод, основанный на измерениях псевдодальности (Ri) между i-ым навигационным космическим аппаратом (НКА) и навигационным приемником. Для повышения точности решения используется весовой МНК, причем выбор весов является предметом исследований [1, 2]. В частности, для устранения аномальных выбросов псевдодальности до отдельных НКА путем коррекции соответствующих весов используется метод RAIM [2]. Целью статьи является исследование влияния весовой обработки в методе RAIM на точность решения навигационной задачи.

Номинальные псевдодальности Pi приемника до НКА определяются по формуле:

    (1)

где xiyizi – координаты i-го НКА, x0y0z0 – номинальные координаты навигационного приемника, c – скорость света, Δt – разница шкал времени навигационной системы и приемника.

Весовой МНК описывается выражением [3]:

,     (2)

где A – матрица направляющих косинусов, P – вектор-столбец номинальных псевдодальностей, R – вектор-столбец измеренных псевдодальностей, W – весовая матрица.

Весовая матрица W определяется следующим образом:

    (3)

где diag – функция, формирующая диагональную матрицу с элементами на главной диагонали.

Отношение С/N0 несущей к шуму является ключевым параметром при анализе характеристик навигационных приёмников. Данная модель в основном применяется для уменьшения эффекта многолучевого распространения и описывает дисперсию  фазы несущей как функцию от С/N0:

,    (4)

где k=1, 2, …, n – номер спутника, n – максимальное количество спутников.

Данный метод справедлив при известных значениях С/N0. Когда эти значения определить невозможно, есть возможность корректировать веса при помощи метода автономного контроля целостности RAIM. В данном методе псевдодальность представляется как линейная функция поправок к координатам текущего местоположения. Невязку r псевдодальностей можно найти как разницу между линеаризованными измерениями (разница между измеренными R и номинальным P значениями псевдодальности):

.    (5)

Нормированный остаток v может быть сформирован:

,    (6)

где  – оценка вектора усредненной дисперсии [2]:

,     (7)

где median – функция, определяющая медианное значение массива.

Существует более 10 видов счетных функций оценки. Для эксперимента рассмотрим счетную функцию d Коши [2]:

,    (8)

где k=2,3849 – постоянный параметр.

Уточненная счетной функцией d матрица  весов, используемая в дальнейшем в МНК (2), рассчитывается следующим образом:

.    (9)

Алгоритм, описанный выражениями (2) и (9), реализован программно. На рисунке представлена градиентная траектория, а также показано положение спутников относительно навигационного приемника (точками обозначены спутники, а приемник – крестом).

Рис. Градиентная траектория сходимости алгоритма

Оценка координат с помощью разработанного алгоритма сходится к истинному значению.

Произведён сравнительный анализ точности алгоритма с весовой и без весовой обработок, а также весовой обработки с коррекцией функцией Коши. Результаты измерений приведены ниже (табл. 1). Проведены 7 серий, по 2000 экспериментов с использованием следующей модели внесения нестабильностей расстояний:

R=R+dr,    (10)

где dr – вектор нестабильности расстояний.

Для каждой серии вектор нестабильности задавался отдельно и не менялся на протяжении всей серии.

Таблица 1

Сравнение эффективности МНК

№ серии

1

2

3

4

5

6

7

СКО, м

0,51

0,60

0,59

0,62

0,47

0,47

0,54

СКОвзвеш., м

0,47

0,50

0,56

0,56

0,42

0,39

0,50

СКОвзвеш. с корр., м

0,45

0,52

0,53

0,58

0,40

0,35

0,51

1, %

7,8

16,6

5,1

9,7

10,6

17,0

7,4

2, %

11,8

13,3

10,2

6,5

14,9

25,5

5,6

Весовой метод обработки данных дает меньшее СКО оценки координат приемника, чем обработка без весов. Средний выигрыш взвешенного МНК ∆1 составляет около ∆1=10,6 % относительно обычного МНК. При дополнительной коррекции весовых коэффициентов функцией Коши средний выигрыш в уменьшении СКО ∆2 составляет около ∆2=12,5 %.

Исследована возможность МНК с дополнительной коррекцией противостоять искажениям параметров единичных спутников. Для этого в выражении (10) варьированы геометрические расстояния отдельных спутников. Результаты эксперимента представлены в таблице (табл. 2).

Таблица 2

Зависимость СКО от количества спутников с вариациями геометрических расстояний

Искаженные псевдодальности

3

2

1

0

СКОвзвеш., м

15,6721

15,2481

7,2086

0,5473

СКОвзвеш. с корр., м

12,4891

12,9507

0,7432

0,5361

1, %

20

15

9

2

Видно, что взвешенный МНК с коррекцией имеет явное преимущество, которое в среднем составляет 11,5 %. Лучше всего алгоритм с коррекцией проявляет себя при устранении единичной ошибки (выигрыш около 20 %). При увеличении числа спутников с искаженной псевдодальностью эффективность алгоритма с дополнительной коррекцией снижается.

Текст статьи
  1. Wezka K., Herrera-Pinzon I., Galas R. Reliability Monitoring of GNSS Observables under the Influence of Ionospheric Disturbances // Proc. of IEEE/ION PLANS. 2016. Pp. 431-441.
  2. Wang W. A Modified Residual-Based RAIM Algorithm for Multiple Outliers Based on a Robust MM Estimation / W. Wang, X. Ying // Sensors 2020. 20(08). 5407. (doi: 10.3390/s20185407).
  3. Ворошилин Е. П. Определение координат источников радиоизлучения разностно-дальномерным методом с использованием группировки низкоорбитальных малых космических аппаратов / Е. П. Ворошилин, М. В. Миронов, В. А. Громов // Доклады ТУСУРа. 2010. № 1 (21), ч. 2. С. 23‑28.
Список литературы