научный журнал «Актуальные исследования» #1 (80), январь '22

Определение параметров пластов на скважинах со стационарным выходом методом гидродинамического исследования

Для повышения точности геолого-математической модели пласта, необходимо найти и реализовать лучший способ «фильтровать» рассматриваемые промысловые скважины, чтобы лучше «почувствовать» свойства коллектора и анизотропию проводимости пласта. Полезно провести математические эксперименты в геолого-гидродинамической модели пласта для планирования такой производственной деятельности и получения положительных результатов.

Аннотация статьи
погрешность
модель пласта
скважина
кривая изменения давления
функция
спектр
забой
Ключевые слова

Неизвестными параметрами пласта служат такие параметры, как давление в пласте рплχ=µβk*– пьезопроводимость, K=kµh - гидропроводимость. Однако, учитывая специфику вопроса, вместо пьезопроводимости следует рассмотреть величину χ/rс2, так как в эту величину входит еще одна неизвестная величина как параметр r эффективный радиус скважины (с учетом скин-эффекта).

Если неизвестно, что происходит после остановки скважины - выход (приток) или поток притока, то есть поток, который возникает в результате резкого (внезапного) перехода потока от одной постоянной к другой, тогда вместо одного параметра нужно взять параметр притока α.

Формула 1 представляет собой анализ кривой изменения давления (КИД) при постоянной мощности.

Давайте сначала рассмотрим более простую ситуацию, то есть до того, как скважина будет введена в эксплуатацию. Пусть ее выход (в пластовых условиях) будет постоянным Q0 после спуска скважины. Тогда мы получим поэтому давление в скважине уменьшается на кривой возврата давления (КИД) (см. уравнение (8)):

    (1)

Таким образом, если:

    (2)

ввести функции и параметры,

x1 (t) ≡ 1, x 2 (t) = −Q0 ⋅ ln t    (3)

то уравнение (1) можно записать в следующем виде:

pc (t) = a1 x1 (t) + a2 x 2 (t)

На практике точное значение давлений pc(ti) дается с его приблизительными значениями y(ti)=pc(ti)+εi которые измеряются с некоторой погрешностью. В нем коэффициенты â1 и â2 основанные на методе наименьших квадратов, также будут отличаться от точных значений этих параметров (2). Размер этих различий характеризуется погрешностями μj. На рисунках 1a-1b гистограммы распределения параметров a1 (рис. 1a) и a2 (рис.1b), которые представляют это, построены для 1000 видов. Таким образом, измеренные значения моделируются на основе уравнения y(t) = pc(ti) + εi.

Уравнение (1) было рассчитано по уравнению, но погрешности εi равномерно распределены и моделируются нелинейно. Были получены следующие значения параметров для расчета: χ3 = 1000 см2/сек, rc = 10 см, kh/μ =30 d см/спз, Q0 = 1000 см3/сек, рпл = 200 кгс/см2. Точные значения искомых параметров: a*1 = 191,74, a*2 = 2,65·10–3, а характерные значения ошибок μ1 = 2,19, μ1 = 2,5·10–4.

Рис. 1 а, б

С практической точки зрения оценка погрешности расчета параметров пласта зависит от выхода Q0 скважины, погрешности измерения давления σ i, местоположения измеренных времен {ti }in=1, количества n измерений, и так далее. Давайте сначала проведем такой качественный анализ. Для него допустим, что точность размеров σi = σ такая же. Давайте не будем заранее согласовывать параметры, которые нам нужны (тогда C0 – будет нулевой матрицей). Тогда согласно уравнению двумерная матрица C будет иметь следующие элементы:

Где выражения для вектора параметром X = (ln(t1),..., ln(tn))и A = (a1 ,..., an)' n – <A>, <A2>:

они представляют собой средние значения формы. Таким образом, согласно сделанным примечаниям, матрица C может быть записана следующим образом:

Поэтому в нем противоположная матрица получит вид:

Тогда:

    (4)

Теперь давайте рассмотрим более сложную схему анализа пласта. Допустим, что пласт не был воздействован в нулевой момент времени и скважина начинает работать с постоянным выходом Q(t) = Q0 и предположим, что после времени t = T скважина работает с новым постоянным выходом Q(t) = Q1. В этом случае давление в скважине сначала снижается, а затем после временного момента t = T начинает возрастать. При 0 < Q1 < Q0 схематическое изображение данного режима давления изображено на рис. 2а. Кривую изменения давления (КИД) можно разделить на две части: кривую снижения давления (КСД) часть I на рисунке 1a, и кривую восстановления давления (КВД) в части II. Таким образом, если Q1 ≠ 0 кривая восстановления давления (КВД) восстанавливается не полностью (рисунок 2 a).

Кривая снижения давления (КСД) I часть разрабатывается по описанной выше схеме. Для разработки кривой восстановления давления (КBД) часть II, давление можно записать в следующем виде:

     (5)

где:

    (6)

Если:

    (7)

Если ввести обозначение t = T, то уравнение (4) примет следующий вид

    (8)

Рис. 2 а, б

Как и ранее, при измерении давления на практике допускаются погрешности. Следовательно, погрешности возникают, когда значения параметров a1′, a2′ вычисляются и эти погрешности вычисляются точно так же, как в уравнении (3), но вектор определяется уравнением , где:

     (9)

Информационная концепция и анализ определения неточностей параметров пласта

Таким образом, для частного случая в Примере 2 мы выразили погрешность определения неизвестного параметра при разработке КСД или КСД в форме единственного (3) уравнения. Пороги погрешностей, задаваемые (3) уравнением, прямо пропорциональны погрешностям измерения σ, а квадратный корень, полученный из чисел n измерений, обратно пропорционален. Затем, анализируя КСД, можно увидеть, что погрешности измерения для первого параметра не зависят от выхода Q0, а для второго параметра погрешности измерения обратно пропорциональны выходу скважины. Зависимость от доли времени подразделяется на отдельный множитель. Для анализа этой составляющей введем понятие информационной сети (информационность) τ=(t1,...,tn):

    (10)

где:   и

    (11)

Погрешности в нем будут обратно пропорциональны информации сети размерностей  Если рассмотрим две части кривой изменения давления (КИД), измеренные во временных сетях  и , то информация в оценке неизвестного параметра большая, сетевая погрешность мала. Существует фундаментальное (фундаментальное) различие между зависимостью измерительной сети для кривой снижения давления (КСД) и зависимостью информации измерительной сети от частей кривой восстановления давления (КВД). В первом случае информация сети определяется значением временной сети, но для части КВД информация сети также зависит от величин T и q = Q1/Q0 (см. уравнение 10).

Для частей КСД И КВД a ≤ t ≤ b в свободном сечении I1(a, b), I2(,b) при информативности ti = a + (– 1) · ∆t, i = 1,...,при информативности равно размерных сетей при → ∞ Ik (a,b) = limn→∞ Ik (t1,...,tn) его можно определить как предел, где: ∆ t = (b – a)/(n – 1) – шаг сети. Если учесть эти выражения, то получаем:

    (12)

тогда:

Рассмотрим рисунок 2. Из уравнения (11) очевидно, что в части I КСД расстояние (ττ + ∆τ) уменьшается наравне с увеличением информативности (∆τ отмечено). Это вытекает из следующих простых результатов: 1) Функция φ(t) в части I ровно увеличивается φ(t) = lnt << φ 2>> средне, и на расстоянии (ττ + ∆τ) с увеличением τ постепенно увеличивается; 2) С увеличением τ отклонение значений функции φ(t) во внутренних точках интервала (ττ + ∆τ) равномерно уменьшается.

Трудно точно сказать, как поведут себя информаторы в части II (КВД) I1(a,b), I2(a,b). Действительно, для КBД в сечении a = T + τ ≤ t ≤ T + τ + ∆τ = b рассмотрим информаторы I1(a,b), I2(a,b) (рисунок № 2 b.). На рисунках 3a-3b и 4a-4b изображены графики зависимости информаторов I1(a,b), I2(a,b) от величины τ , T = 4 часа (рисунок 3 а и б) и T=8 часов (рисунок 4a, б), показаны на графиках в часах. Во всех случаях значение параметра q принималось равным q=0,5. Таким образом, к разным кривым были применены разные значения параметра Δτ (1,2,3,4 и 5 часов соответственно).

На рисунках 2a-2б показаны два значения параметра qq=0 (рисунок 2a) и q = 0,9 (рисунок 2 б), которые показывают связи информативности I2(a,b) (связь (I1(a,b) аналогично).

Как видно из этих изображений, зависимость информации от местоположения расстояний, их длины и величин T и q, которые являются внешними параметрами, очень сложно.

Как видно из рисунков 3 и 4, длительность T КСД влияет на самое низкое информационное значение и самое низкое значение кривой.

Рис. 3 а, б

Рис. 4 а, б

Рис. 5 а, б

Кроме того, влияние продолжительности измеренного расстояния на информацию об этом расстоянии очень интересно с практической точки зрения. Рисунки 3 и 5 показывают, что на этот вопрос нельзя однозначно ответить. Если τ ≤ τ0 (τ0 = 2 часа), то информация об интервале ∆τ = 2 часа (T+ τT + τ + ∆τ) для значений T = 4 и q = 0,5 практически не зависит от его продолжительности. Если τ>τ0, то начинает отчетливо ощущаться зависимость информации от величины τ. Параметры T и q существенно влияют на величину τ0. Как видно из рисунка 4, прирост значения T в 2 раза приводит к увеличению величины q в 2,5 раза. Однако, как видно из рисунка 5, в других случаях параметра q информация может зависеть от продолжительности интервалов измерения всех частей КВД.

Более общая модель неточностей

На практике измеренное значение давления на забое скважины pc(t) отличается от его фактической величины:

где: ε(t) – погрешность измерения (погрешность измерительного прибора). Мы рассматриваем ε(t) как стационарную случайную функцию, среднее значение которой равно нулю (< ε(t) > ≡ 0), распределенную по закону Гаусса. Он определяется своей корреляционной функцией Bε(τ):

где: fε(ω) – ε(t) спектр случайной функции. Он выражается преобразованием Фурье корреляционной функции:

Неточность измерения является простейшей моделью ε(t) и служит «белым шумом». Значения неточностей для «белого шума» в разные моменты времени не коррелированы: < ε(t1ε(t2) > = 0 если: t1 ≠ t2, < ε2(t) > = σ2.

В более сложных моделях измерений учитывается корреляция между значениями погрешностей в разных единицах времени. В этом случае для моделирования погрешности удобно использовать спектральную функцию fε(ω). В расчетах используем стационарные случайные функции, рандомизированную модель [3, 4]. Эта модель определяется следующим уравнением:

где: N – количество гармоник, (обычно N ≈ 100),   – среднеквадратичная неточность (среднеквадратичная погрешность). Спектральная функция выражается следующим уравнением:

ξn, η n, n = 1,..., N – случайные (некоррелированные) Гауссовские стандартные случайные величины (то есть средние значения равны нулю, расщепление равно одному), ωn n = 1,..., N – не имеющее отношения друг к другу и одновременно также не связанные со случайными величинами ξn, ηn, n = 1,..., N с

 – равнозначные деления вероятной величины.

Будет использовано два типа Pε(ω) – “цветной шум”

где: ωmin = 1/Tmaxωmax = 1/TminTminTmax – соответственно минимальное и максимальное значения времени, присущие корреляции;

– экспоненциальная корреляционная функция: Bε (τ) = σ02 exp(−, | τ | / T0 ) соответственно:

Уравнения моделирования для двух рассмотренных случаев соответственно следующие: 

Рис. 6 а, б

где: γ – случайная величина псевдослучайного распределения на расстоянии [0,1]. На рисунках 6a – 6б показаны графики процесса ε (t) в случае «цветового шума»: Tmin = 60 сек., Tmax = 3600 сек. (рисунок 6 а) и Tmin = 600 сек, Tmax = 3600 сек. (рисунок 6 б). Аналогичным образом изображения для экспоненциальной корреляционной функции приведены на рисунках 7a – 7б. 

Рис. 7 а, б

Неточности измерения давления добавляют погрешности к коэффициентам A1B1A2B2 вычисленным с помощью КИД (кривая изменения давления). Эти неточности неразрывно связаны с входными параметрами проблемы (гидро- и пьезопроводимость, выходы в начальное и конечное время, параметры, характеризующие неточности измерения давления и т. п.). Теперь рассмотрим данный вопрос.

На рисунке 8 а показана точная кривая давления (тонкая кривая) и ее кривизна (жирная кривая) с учетом неточностей. Корреляционная функция погрешности считалась экспоненциальной. Значения параметров: χ=1000 см2/с, rc = 10 см, K = kh/μ = 30 d см/спз, Q0 = 5000 см3/с, Q1 = 2500 см3/с, рпл =200 кгс/см2, σ0 = 2 кгс/см2, T0 = 600с. На рисунке 8 б изображен график ε(t), полученный путем моделирования кривых на рисунке 8 а.Относительные неточности определения коэффициентов A1, B1, A2, B2 путем анализа КИД равны 0,7, 0,75, 1,7 и 4,4% соответственно.

Рис. 8 а, б

Рис. 9 а, б

При тех же условиях, но когда T0 = 3600 с КИД на рисунке 9 a, график неточностей ε(t) построен на рисунке 9б. Следует отметить, что с течением времени до Tотносительная погрешность коэффициентов A1, B1, A2, B2 увеличивается. Точнее, они составляют 4,46, 6,62, 5,8 и 13,9% соответственно.

Таким образом, структура функции корреляции погрешности измерения давления явно влияет на неточность, возникающую при нахождении коэффициентов A1B1A2B2. С ростом присущего времени Tтакже увеличивается точность нахождения коэффициентов.

Текст статьи
  1. Азиз Х., Сеттари Э. Математическое моделирование пластовых систем. – М.: Недра, 1982, 408 с.
  2. Подземная гидравлика / Басниев К.С., Власов А.М., Кочина И.Н., Максимов В.М./ – М.: Недра, 1986, 303 с.
  3. Шамилев М.А. Уточнение глубины спуска промежуточных колонн в газовые скважины с высоким пластовым давлением. Бурение, 1972. № 10, С.16-18.
  4. Шукуров А.Д., Кендин С.Н. Устройство для обработки стенок скважины. Патент Туркменистана.
  5. Гурбанмырадов О.А., Эседуллаев Р.Э., Дурдыев Н.Т., Деряев А.Р. Гидродинамические проблемы, возникающие при бурении нефтегазовых скважин и способы их решения. – A.: Наука, 2018, 336 с.
Список литературы