Определение параметров пластов на скважинах со стационарным выходом методом гидродинамического исследования

Неизвестными параметрами пласта служат такие параметры, как давление в пласте р_пл, χ=_µβ^k_*– пьезопроводимость, K=^k_µ^h - гидропроводимость. Однако, учитывая специфику вопроса, вместо пьезопроводимости следует рассмотреть величину χ/r_с², так как в эту величину входит еще одна неизвестная величина как параметр r_c – эффективный радиус скважины (с учетом скин-эффекта).

Если неизвестно, что происходит после остановки скважины - выход (приток) или поток притока, то есть поток, который возникает в результате резкого (внезапного) перехода потока от одной постоянной к другой, тогда вместо одного параметра нужно взять параметр притока α.

Формула 1 представляет собой анализ кривой изменения давления (КИД) при постоянной мощности.

Давайте сначала рассмотрим более простую ситуацию, то есть до того, как скважина будет введена в эксплуатацию. Пусть ее выход (в пластовых условиях) будет постоянным Q₀ после спуска скважины. Тогда мы получим поэтому давление в скважине уменьшается на кривой возврата давления (КИД) (см. уравнение (8)):

    (1)

Таким образом, если:

    (2)

ввести функции и параметры,

x₁ (t) ≡ 1, x ₂ (t) = −Q₀ ⋅ ln t    (3)

то уравнение (1) можно записать в следующем виде:

p_c (t) = a₁ x₁ (t) + a₂ x ₂ (t)

На практике точное значение давлений p_c(t_i) дается с его приблизительными значениями y(t_i)=p_c(t_i)+ε_i которые измеряются с некоторой погрешностью. В нем коэффициенты â₁ и â₂ основанные на методе наименьших квадратов, также будут отличаться от точных значений этих параметров (2). Размер этих различий характеризуется погрешностями μ_j. На рисунках 1a-1b гистограммы распределения параметров a₁ (рис. 1a) и a₂ (рис.1b), которые представляют это, построены для 1000 видов. Таким образом, измеренные значения моделируются на основе уравнения y(t) = p_c(t_i) + ε_i.

Уравнение (1) было рассчитано по уравнению, но погрешности ε_i равномерно распределены и моделируются нелинейно. Были получены следующие значения параметров для расчета: χ₃ = 1000 см²/сек, r_c = 10 см, kh/μ =30 d см/спз, Q₀ = 1000 см³/сек, р_пл = 200 кгс/см². Точные значения искомых параметров: a^*₁ = 191,74, a^*₂ = 2,65·10^–3, а характерные значения ошибок μ₁ = 2,19, μ₁ = 2,5·10^–4.

Рис. 1 а, б

С практической точки зрения оценка погрешности расчета параметров пласта зависит от выхода Q₀ скважины, погрешности измерения давления σ _i, местоположения измеренных времен {t_i }_iⁿ₌₁, количества n измерений, и так далее. Давайте сначала проведем такой качественный анализ. Для него допустим, что точность размеров σ_i = σ такая же. Давайте не будем заранее согласовывать параметры, которые нам нужны (тогда C₀ – будет нулевой матрицей). Тогда согласно уравнению двумерная матрица C будет иметь следующие элементы:

Где выражения для вектора параметром X = (ln(t₁),..., ln(t_n))' и A = (a₁ ,..., a_n)' n – <A>, <A²>:

они представляют собой средние значения формы. Таким образом, согласно сделанным примечаниям, матрица C может быть записана следующим образом:

Поэтому в нем противоположная матрица получит вид:

Тогда:

    (4)

Теперь давайте рассмотрим более сложную схему анализа пласта. Допустим, что пласт не был воздействован в нулевой момент времени и скважина начинает работать с постоянным выходом Q(t) = Q₀ и предположим, что после времени t = T скважина работает с новым постоянным выходом Q(t) = Q₁. В этом случае давление в скважине сначала снижается, а затем после временного момента t = T начинает возрастать. При 0 < Q₁ < Q₀ схематическое изображение данного режима давления изображено на рис. 2а. Кривую изменения давления (КИД) можно разделить на две части: кривую снижения давления (КСД) часть I на рисунке 1a, и кривую восстановления давления (КВД) в части II. Таким образом, если Q₁ ≠ 0 кривая восстановления давления (КВД) восстанавливается не полностью (рисунок 2 a).

Кривая снижения давления (КСД) I часть разрабатывается по описанной выше схеме. Для разработки кривой восстановления давления (КBД) часть II, давление можно записать в следующем виде:

     (5)

где:

    (6)

Если:

    (7)

Если ввести обозначение t = T, то уравнение (4) примет следующий вид

    (8)

Рис. 2 а, б

Как и ранее, при измерении давления на практике допускаются погрешности. Следовательно, погрешности возникают, когда значения параметров a₁′, a₂′ вычисляются и эти погрешности вычисляются точно так же, как в уравнении (3), но вектор определяется уравнением , где:

     (9)

Информационная концепция и анализ определения неточностей параметров пласта

Таким образом, для частного случая в Примере 2 мы выразили погрешность определения неизвестного параметра при разработке КСД или КСД в форме единственного (3) уравнения. Пороги погрешностей, задаваемые (3) уравнением, прямо пропорциональны погрешностям измерения σ, а квадратный корень, полученный из чисел n измерений, обратно пропорционален. Затем, анализируя КСД, можно увидеть, что погрешности измерения для первого параметра не зависят от выхода Q_0, а для второго параметра погрешности измерения обратно пропорциональны выходу скважины. Зависимость от доли времени подразделяется на отдельный множитель. Для анализа этой составляющей введем понятие информационной сети (информационность) τ=(t₁,...,t_n):

    (10)

где:   и

    (11)

Погрешности в нем будут обратно пропорциональны информации сети размерностей  Если рассмотрим две части кривой изменения давления (КИД), измеренные во временных сетях  и , то информация в оценке неизвестного параметра большая, сетевая погрешность мала. Существует фундаментальное (фундаментальное) различие между зависимостью измерительной сети для кривой снижения давления (КСД) и зависимостью информации измерительной сети от частей кривой восстановления давления (КВД). В первом случае информация сети определяется значением временной сети, но для части КВД информация сети также зависит от величин T и q = Q₁/Q₀ (см. уравнение 10).

Для частей КСД И КВД a ≤ t ≤ b в свободном сечении I₁(a, b), I₂(a ,b) при информативности t_i = a + (i – 1) · ∆t, i = 1,...,n при информативности равно размерных сетей при → ∞ I_k (a,b) = lim_n→∞ I_k (t₁,...,t_n) его можно определить как предел, где: ∆ t = (b – a)/(n – 1) – шаг сети. Если учесть эти выражения, то получаем:

    (12)

тогда:

Рассмотрим рисунок 2. Из уравнения (11) очевидно, что в части I КСД расстояние (τ, τ + ∆τ) уменьшается наравне с увеличением информативности (∆τ отмечено). Это вытекает из следующих простых результатов: 1) Функция φ(t) в части I ровно увеличивается φ(t) = lnt << φ 2>> средне, и на расстоянии (τ, τ + ∆τ) с увеличением τ постепенно увеличивается; 2) С увеличением τ отклонение значений функции φ(t) во внутренних точках интервала (τ, τ + ∆τ) равномерно уменьшается.

Трудно точно сказать, как поведут себя информаторы в части II (КВД) I₁(a,b), I₂(a,b). Действительно, для КBД в сечении a = T + τ ≤ t ≤ T + τ + ∆τ = b рассмотрим информаторы I₁(a,b), I₂(a,b) (рисунок № 2 b.). На рисунках 3a-3b и 4a-4b изображены графики зависимости информаторов I₁(a,b), I₂(a,b) от величины τ , T = 4 часа (рисунок 3 а и б) и T=8 часов (рисунок 4a, б), показаны на графиках в часах. Во всех случаях значение параметра q принималось равным q=0,5. Таким образом, к разным кривым были применены разные значения параметра Δτ (1,2,3,4 и 5 часов соответственно).

На рисунках 2a-2б показаны два значения параметра q: q=0 (рисунок 2a) и q = 0,9 (рисунок 2 б), которые показывают связи информативности I₂(a,b) (связь (I₁(a,b) аналогично).

Как видно из этих изображений, зависимость информации от местоположения расстояний, их длины и величин T и q, которые являются внешними параметрами, очень сложно.

Как видно из рисунков 3 и 4, длительность T КСД влияет на самое низкое информационное значение и самое низкое значение кривой.

Рис. 3 а, б

Рис. 4 а, б

Рис. 5 а, б

Кроме того, влияние продолжительности измеренного расстояния на информацию об этом расстоянии очень интересно с практической точки зрения. Рисунки 3 и 5 показывают, что на этот вопрос нельзя однозначно ответить. Если τ ≤ τ₀ (τ₀ = 2 часа), то информация об интервале ∆τ = 2 часа (T+ τ, T + τ + ∆τ) для значений T = 4 и q = 0,5 практически не зависит от его продолжительности. Если τ>τ₀, то начинает отчетливо ощущаться зависимость информации от величины τ. Параметры T и q существенно влияют на величину τ₀. Как видно из рисунка 4, прирост значения T в 2 раза приводит к увеличению величины q в 2,5 раза. Однако, как видно из рисунка 5, в других случаях параметра q информация может зависеть от продолжительности интервалов измерения всех частей КВД.

Более общая модель неточностей

На практике измеренное значение давления на забое скважины p_c(t) отличается от его фактической величины:

где: ε(t) – погрешность измерения (погрешность измерительного прибора). Мы рассматриваем ε(t) как стационарную случайную функцию, среднее значение которой равно нулю (< ε(t) > ≡ 0), распределенную по закону Гаусса. Он определяется своей корреляционной функцией B_ε(τ):

где: f_ε(ω) – ε(t) спектр случайной функции. Он выражается преобразованием Фурье корреляционной функции:

Неточность измерения является простейшей моделью ε(t) и служит «белым шумом». Значения неточностей для «белого шума» в разные моменты времени не коррелированы: < ε(t₁) ε(t₂) > = 0 если: t₁ ≠ t₂, < ε²(t) > = σ².

В более сложных моделях измерений учитывается корреляция между значениями погрешностей в разных единицах времени. В этом случае для моделирования погрешности удобно использовать спектральную функцию f_ε(ω). В расчетах используем стационарные случайные функции, рандомизированную модель [3, 4]. Эта модель определяется следующим уравнением:

где: N – количество гармоник, (обычно N ≈ 100),   – среднеквадратичная неточность (среднеквадратичная погрешность). Спектральная функция выражается следующим уравнением:

ξ_n, η _n, n = 1,..., N – случайные (некоррелированные) Гауссовские стандартные случайные величины (то есть средние значения равны нулю, расщепление равно одному), ω_n n = 1,..., N – не имеющее отношения друг к другу и одновременно также не связанные со случайными величинами ξ_n, η_n, n = 1,..., N с

 – равнозначные деления вероятной величины.

Будет использовано два типа P_ε(ω) – “цветной шум”

где: ω_min = 1/T_max, ω_max = 1/T_min, T_min, T_max – соответственно минимальное и максимальное значения времени, присущие корреляции;

– экспоненциальная корреляционная функция: B_ε (τ) = σ₀² exp(−, | τ | / T₀ ) соответственно:

Уравнения моделирования для двух рассмотренных случаев соответственно следующие: 

Рис. 6 а, б

где: γ – случайная величина псевдослучайного распределения на расстоянии [0,1]. На рисунках 6a – 6б показаны графики процесса ε (t) в случае «цветового шума»: T_min = 60 сек., T_max = 3600 сек. (рисунок 6 а) и T_min = 600 сек, T_max = 3600 сек. (рисунок 6 б). Аналогичным образом изображения для экспоненциальной корреляционной функции приведены на рисунках 7a – 7б. 

Рис. 7 а, б

Неточности измерения давления добавляют погрешности к коэффициентам A₁, B₁, A₂, B₂ вычисленным с помощью КИД (кривая изменения давления). Эти неточности неразрывно связаны с входными параметрами проблемы (гидро- и пьезопроводимость, выходы в начальное и конечное время, параметры, характеризующие неточности измерения давления и т. п.). Теперь рассмотрим данный вопрос.

На рисунке 8 а показана точная кривая давления (тонкая кривая) и ее кривизна (жирная кривая) с учетом неточностей. Корреляционная функция погрешности считалась экспоненциальной. Значения параметров: χ=1000 см²/с, r_c = 10 см, K = kh/μ = 30 d см/спз, Q₀ = 5000 см³/с, Q₁ = 2500 см³/с, р_пл =200 кгс/см², σ₀ = 2 кгс/см², T₀ = 600с. На рисунке 8 б изображен график ε(t), полученный путем моделирования кривых на рисунке 8 а.Относительные неточности определения коэффициентов A1, B1, A2, B2 путем анализа КИД равны 0,7, 0,75, 1,7 и 4,4% соответственно.

Рис. 8 а, б

Рис. 9 а, б

При тех же условиях, но когда T₀ = 3600 с КИД на рисунке 9 a, график неточностей ε(t) построен на рисунке 9б. Следует отметить, что с течением времени до T₀ относительная погрешность коэффициентов A₁, B₁, A₂, B₂ увеличивается. Точнее, они составляют 4,46, 6,62, 5,8 и 13,9% соответственно.

Таким образом, структура функции корреляции погрешности измерения давления явно влияет на неточность, возникающую при нахождении коэффициентов A₁, B₁, A₂, B_2. С ростом присущего времени T₀ также увеличивается точность нахождения коэффициентов.