О нетрадиционной форме второго закона движения Ньютона

Законы движения были впервые сформулированы Ньютоном в его «Principia Philosophial Naturalis» [3].

Прежде чем сформулировать второй закон движения словами Ньютона, необходимо указать на две величины, которые ввел Ньютон. Первую из них он назвал количеством материи и дает ей следующее определение: количество материи есть мера таковой, устанавливаемая пропорционально плотности и объему её. Отсюда совершенно ясно, что количество материи есть масса. Вторую величину Ньютон называет количеством движения и определяет её так: количество движения есть мера такового, устанавливаемая пропорционально скорости и массе. Если скорость обозначим через  а массу через , то эта величина пропорциональна  или просто равна .

Следует заметить, что результаты своих исследований Ньютон представлял не в форме равенств, а в форме пропорциональностей. Эта форма пропорциональностей присутствует во всех задачах, рассмотренных в [3]. В частности формулировка второго закона движения согласно [3] (см. стр. 40) гласит: изменение количества движения пропорционально приложенной действующей силе и имеет то направление, в котором эта сила действует. Под изменением количества движения следует понимать разность , отнесённую к единице времени.

Из сказанного и следует формула второго закона движения:

    (1)

Здесь введён эмпирический коэффициент пропорциональности α. В физических задачах, представляемых в формульном виде, коэффициенты пропорциональности могут быть как размерными величинами, и безразмерными в виде отвлечённых чисел. Размерные коэффициенты пропорциональности правые и левые части какой-либо физической формулы приводить к одинаковой размерности. Если же в формуле левые и правые части имеют одинаковые размерности, то безразмерный коэффициент пропорциональности указывает на то во сколько раз левая часть указанной формулы больше или меньше правой.

В данном случае применительно к формуле (1) коэффициент пропорциональности α суть безразмерная величина, которая в рамках той или иной задачи, может быть как положительной, так и отрицательной величиной [1, 2].

Если в (1) положить α р авном единице, то данная формула примет вид

,     (2)

который гласит: действующая сила F равна изменению количества движения, что противоречит утверждению Ньютона, изложенному выше. Однако формула (2) используется во всей научной и учебной литературе по физике в качестве количественной формулы второго закона Ньютона.

В действительности же формула (2) устанавливает размерность силы F через размерность величин, входящих в правую часть (2), и определяет единицу измерения силы F в той или иной системе единиц, принятых в качестве основных. В таком случае коэффициент α в (1) определяет во сколько раз действующая сила F больше или меньше единичной.

Чтобы формуле (1) придать современный вид необходимо в правой части (1) осуществить предельный переход, устремив промежуток времени ∆t к нулю. После чего получим

F ,     (3)

где соотношение  означает ускорение.

В работе [1] формула (3) использовалась при анализе движения электрона в электромагнитном поле в результате чего произведено обобщение известной формулы Альберта Эйнштейна, определяющей зависимость массы электрона от скорости.

В условиях постоянства массы m формула (3) принимает более простой вид

 F  .    (4)

В работе [2] формула (4) при отрицательном значении величины α использовалась при аналитическом анализе результатов известного опыта Толмина и Стюарта, который доказывает электронную природу тока в металлах.

Для выяснения физического смысла коэффициента пропорциональности α соотношение (4) перепишем так:

F dt = α mdv.    (5)

В рамках общеизвестных представлений ведём элементарный импульс силы dK =F∙dt и элементарный импульс тела dL = mdv, после чего из (5) получаем формулу для определения α в следующем виде

 .     (6)

Левая часть в формуле (5) определяет количественную форму действия силы F на тело в течение времени dt, результатом которого является величина элементарного количества движения, характеризующего скорость движения. В связи с чем формула (6) является мерой превращения силы в движение.

При выводе формулы (4) предполагалось, что движение тела происходит вдоль прямой линии. Однако в декартовой системе координат x, y, z движение тела по криволинейной траектории раскладывается на три движения. Именно, движение вдоль оси x, определяемое функцией x(t), вдоль оси y, определяемое как y(t) и вдоль оси z, определяемое функцией z(t). Скорости тела при указанных движениях обозначим через u вдоль оси x, v вдоль оси y, w вдоль оси z. Составляющие вектора силы на оси x, y, z обозначим через X, Y, Z соответственно. Теперь в каждом из этих движений указанные силы будем определять по формуле (4) при условии, что коэффициент пропорциональности α принимает значения α₁, α₂, α₃. После чего будем иметь

 X = α₁ m ,        Y = α₂ m ,        Z = α₃ m .     (7)

Для получения дифференциальных уравнений, определяющих функции x(t), y(t) и z(t) необходимо кинематические соотношения u = , v= , w  подставить в правые части уравнений (7). После указанной подстановки получаем следующие обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка

    (8)

Эти уравнения представляют математическую модель механики Ньютона. В рамках этой модели определяются две задачи механики материальной точки. В первой задаче по заданным кинематическим соотношениям правых частей в (8) определяются силы X, Y, Z. Во второй задаче по заданным силам X, Y, Z вычисляются кинематические параметры движения x(t), y(t) и z(t).

В качестве примера использования уравнений (8) рассмотрим задачу о движении тела, брошенного под углом θ к горизонту, с начальной скоростью v₀ в условиях, когда на него действует только сила тяжести. Будем предполагать, что α₁ = α₂ = α₃ = α и что движение происходит в плоскости yx, где y – вертикальная ось а x – горизонтальная. В данном случае действующие силы таковы:

где m есть масса брошенного тела а g – ускорение свободного падения. Знак минус во втором соотношении означает, что направление силы тяжести противоположно положительному направлению оси y. Для нашего случая дифференциальные уравнения (8), определяющие координаты тела x(t) и y(t) выглядят так:

     (9)

Интегрируем первое уравнение в (9) и получаем

Произвольная постоянная c этого уравнения определяется по начальным условиям: тело брошено со скоростью v₀ и в начале движения имело скорость по оси O_x:

Интегрируем найденное управление снова и находим:

Для точки O имеем x=0 , t=0, следовательно, c1=0 и последнее соотношение примет окончательный вид:

     (10)

Для интегрирования второго уравнения в (9) представим его в виде:

После его интегрирования находим

Для определения c₂ заметим, что при t=0 будет  (проекция v₀ на ось O_y). Тогда  и теперь последнее уравнение напишется так:

Интегрируем это уравнение получаем

Для определения c₃ замечаем, что в начале координат, при y=0, имеем t=0, тогда из последнего соотношения находим, что с₃=0, и уравнение для определения координаты y принимает окончательный вид:

    (11)

Подставляя в это уравнение значение t из уравнения (13), находим

что окончательно дает

    (12)

Уравнение (12) описывает траекторию движения тела и позволяет исследовать характерные кинематические параметры этой траектории.

Действительно, дальность полёта тела вдоль оси x будет определяться тем значением x=xm, при котором y =0. Следовательно, для определения дальности полёта тела правую часть в (12) приравниваем нулю и получаем следующее соотношение для определения xm

,

из которого определяем

xm      (13)

Для определения максимальной высоты подъёма тела необходимо функцию y=y(x), определяемую по формуле (12), исследовать на экстремум. В этом случае вычисляем производную  и приравниваем её нулю. В результате этих действий получаем соотношение

,

из которого определяется x_o как точка экстремума равная

    (14)

Для нахождения максимальной высоты ym необходимо полученное значение x_o подставить в (12) после чего будем иметь

ym     (15)

Из (13) и (14) следует, что x_o = 12 xm. Следовательно, кривая траектории симметрично относительно точки x_o.

Докажем, что кривая, определяемая формулой (12), суть парабола. Для этого в (12) перейдём к новым координатам x' и y' согласно следующим формулам x = x' + a, y = y' + b. После этого в новой системе координат уравнение (12) принимает вид

,      (16)

если выполняются следующе условия

 =0 ,

 =0     (17)

Соотношения (17) служат для определения параметров a и b данного преобразования. Действительно, из (17) получаем

 a  , b.    (18)

Из анализа формул (14), (15) и (18) рассматриваемые преобразования координат можно переписать так :

 x = x' + xo, y = ym- y'.    (19)

Вернёмся к соотношению (16) и ведём в нём параметр,

 P = ,     (20)

После чего указанное соотношение принимает вид

.    (21)

Из аналитической геометрии известно, что уравнение (21) представляет каноническое уравнение параболы, а множитель P суть параметр данной параболы.

Итак, уравнение (12) описывает параболу. Следовательно, тело, брошенное под углом к горизонту, движется по параболической траектории, а при изменении угла θ от нуля до  получаются различные параболы.

Чтобы найти все поле, в точках которого может появляться тело, имеющее начальную скорость v₀, необходимо найти огибающую всех параболических траекторий. Но прежде покажем общий способ получения уравнения огибающей по данному уравнению огибаемой.

Если мы имеем уравнение кривой вида:

    (22)

где x и y суть текущие координаты, а p – параметр, то вид этой кривой и положение ее на плоскости, характеризуясь параметром p, меняется с изменением p. Огибающую можно рассматривать как геометрическое место пределов пересечения кривых, происходящих от изменения параметров в уравнении кривой. Если в данном уравнении кривой параметр p изменится в , то уравнение кривой будет таково:

Разлагая это уравнение в ряд Тейлора с учетом первых двух членов, получаем:

Это соотношение с учетом (22) упрощается так:

но ввиду того, что dp≠0, получаем окончательно:

    (23)

Исключая параметр p из уравнений (22) и (23), получаем уравнение огибающей в форме:

Применим эти рассуждения к нахождению огибающей параболических траекторий тела, брошенного под углом к горизонту.

Рассмотрим уравнение (12) как уравнение одной из парабол и за параметр p примем величину tgθ, т. е. положим tgθ=p. Тогда входящая сюда величина  выразится так:

и уравнение (12) напишется в виде:

     (24)

Дифференцируя (24) по p, согласно (23), находим

    (25)

Исключаем теперь параметр p из (24) и (25), тогда и получим искомое уравнение огибающей. Действительно, из (25) имеем

 .

Подставим это значение p в уравнение (24), после чего получим уравнение огибающей:

.     (26)

Это уравнение представляет тоже параболу. Точки пересечения ее с осями координат определяется так:

с осью x:

с осью y:

Таковы значения координат точек пересечения огибающей параболы с осями x и y.

Отнесем полученное уравнение (26) к новой системе координат ξNɳ, начало которой поместим в точке N. Тогда имеем формулы перехода:

В новой системе координат уравнение (26) примет вид:

Следовательно, огибающая парабола имеет вершину в N, ось ее есть Nη, а параметр параболы равен α .

Данная огибающая парабола делит плоскость всевозможных траекторий движения материальной точки на две области: область безопасную, лежащую выше огибающей, и область, лежащую ниже огибающей, в которой могут находиться всевозможные траектории. Очевидно, что различные значения параметра α, входящего в уравнение (26), построят семейство огибающих, которые при α>1 будут увеличивать площадь безопасной области, а при α<1 - уменьшать. Этот факт следует учитывать при постановке задач механики на данную тему.