Особенности теорем Силова и области их применения

В 1862 году в мире математики произошло событие, которое невозможно переоценить, – по определенному стечению обстоятельств в университете Христиании Силов заменил профессора по теории Галуа. В итоге, к 1872 году были созданы так называемые теоремы Силова, которые являлись важным результатом всей жизни данного математика, а также ярким результатом теории конечных групп в направлении частичного обращения теоремы Лагранжа.

Первая теорема Силова.

Для каждого простого делителя p порядка группы G существует силовская p-подгруппа S ⊂ G.

Доказательство.

1. Если |G| = p k, то S = G.
2. Если G – абелева группа, то S = Torp(G). Для общего случая проведем доказательство по индукции по порядку G [5].

Случай 1.

|Z(G)| делится на p. Z(G) – абелева группа. В ней найдется некая подгруппа A такая, что |A| = p. Ясно, что A – нормальная подгруппа в G. При этом |G/A| = n p, где n = |G|. По предположению индукции в G/A есть силовская p-подгруппа B в G/A. Рассмотрим π −1 A (B) ⊂ G. Имеем, |π −1 A (B)| = |Ker(πa | π −1 A (B) )| · |Im (πa | π −1 A (B) )| = |A| · |B| = p k . Можно взять S = π −1 A (B).

Случай 2.

|Z(G)| не делится на p. Расмотрим разложение группы G на классы сопряженных элементов. Мы знаем, элементами центра называют классы сопряженности, которые состоят из одного элемента. И так как мы видим, что |G| делится на p, то непременно найдется класс сопряженности C такой, что |C| 6= 1 не делится на p. Пусть g ∈ C. Рассмотрим |Cent(g)| = |G| |C| < |G|. С другой стороны, |Cent(g)| делится на p k . По предположению индукции есть силовская подгруппа S ⊂ Cent(g) ⊂ G, при этом |S| = p k[5].

Лемма.

Если силовская подгруппа единственна, то она нормальна.

Доказательство.

Рассмотрим gSg −1 – это подгруппа G. Но |gSg −1 | = |S|. В самом деле, очевидно, что |gSg −1 | ≤ |S|, с другой стороны, S = g −1 (gSg −1 )g, значит, S ≤ |gSg −1 . Имеем, gSg −1 – силовская подгруппа G, а значит, gSg −1 = S, то есть S нормальна.

Вторая теорема Силова.

1. Любая p-подгруппа G содержится в некоторой силовской.
2. Любые две силовские p-подгруппы сопряжены.

Доказательство.

Случай m = 1 ясен. Пусть m > 1. Пусть S – силовская p-подгруппа, |S| = p k . Пусть H ⊂ G – подгруппа порядка p l , l ≤ k. Рассмотрим действие H на множестве левых смежных классов по S: h · gS = (hg)S. Корректность очевидна: если gS = g 0S, то g 0 = gs для некоторого s ∈ S. Тогда hg0 = hgs и hgS = hg0S. Из теоремы Лагранжа количество левых смежных классов по S равно |G| |S| = m [2]. Имеем, |H| = p l = |St(gS)| · |Orb(gS)|, значит, порядок каждой орбиты либо 1, либо степень p. Так как сумма порядков орбит не делится на p, есть орбита из одного элемента, то есть hgS = gS. Отсюда g −1hg ∈ S, то есть h ∈ gSg −1 . Таким образом можно сделать вывод, что H ⊂ gSg −1 , где |gSg −1 | = p k . Если |H| = p k , то H = gSg −1 .

Таким образом, можно сделать вывод, что в теории групп теоремы Силова представляют собой неполный вариант обратной теоремы к теореме Лаграджа.