Методы решения линейных уравнений с параметрами

Вспомним определение линейного уравнения. Уравнение вида ax=b, где x переменная a и b некоторые числа называется линейным уравнением с одной переменной.

Рассмотрим три случая решения линейного уравнения fp=x∙g(p).

Первый случай, когда f(p) и g(p), равны нулю, тогда уравнение имеет бесконечное число решений; если f(p) равно нулю, а g(p) не равно нулю, то уравнение не имеет решений; если f(p) не равен нулю, g(p) принимает любые значения, то уравнение имеет единственное решение.

Рассмотрим пример решения уравнения с помощью двух моделей (аналитическая и геометрическая).

Задание. При каких значениях параметра p уравнение

p(p-3)x+p=0

имеет бесконечное множество корней?

Аналитическое решение. При p=3 уравнение p(p-3)x+p=0 принимает вид 0∙x+3=0. Уравнение корней не имеет. При p=0 уравнение p(p-3)x+p=0 принимает вид 0∙x+0=0. Уравнение имеет бесконечное число корней. При p≠3 и p≠0 уравнение p(p-3)x+p=0 имеет единственный корень .

Таблица

Случаи решения уравнения

Геометрическое представление решений заданий с параметрами посредством системы GeoGebra дает возможность просмотреть расположения функций при различных значениях параметров и не упустить частные решения таких заданий.

GeoGebra имеет важный инструмент ползунок, позволяющий изменять величины, которые используются для построения объекта (величину угла, длину отрезка, коэффициент в алгебраическом описании объекта). Данный инструмент позволяет создавать динамические чертежи. Динамические чертежи, созданные в GeoGebra позволяют на одном уроке решить больше задач, рассмотреть все случаи решения той или иной задачи, доказательство теоремы, рассмотреть частные случаи и т. д [1].

Геометрическая интерпретация решения уравнения p(p-3)x+p=0.

1. При p=3 графики функций y=p(p-3)x и y=-p параллельны, точек пересечения нет (рис. 1).

Рис. 1. Первый случай

2. При p≠3 и p≠0 графики функций y=p(p-3)x и y=-p пересекаются в одной точке. Абсцисса точки пересечения является корнем уравнения (рис. 2).

Рис. 2. Второй случай

3. Уравнение корней не имеет. При p=0 графики функций y=p(p-3)x и y=-p совпадают, все точки общие. Уравнение имеет бесконечное число корней (рис. 3). 

Рис. 3. Третий случай

Применяя информационные технологии в обучении математики ребята выступают в роли исследователей, которые вооружены простыми средствами, позволяющими им провести анализ, наблюдение, эксперимент и зафиксировать показания изучаемого объекта и процесса исследования [2, c. 90].

Учебно-методический комплекс Мордковича А.Г. рассматривает возможности систематического внедрения в курс алгебры 7-9 классов задач с параметрами [3].

Наглядные представления решения заданий с параметрами расширяют возможности обучающихся по конструированию новых заданий, на смену репродуктивных заданий на знание, понимание и применение приходят экспериментальные лабораторные работы, в которых ребята проводят анализ, синтез и тем самым повышают уровень обученности детей.

1. Ганеева, А. Р. Применение среды GeoGebra на уроках математики / А. Р. Ганеева // Развитие современного образования: теория, методика и практика. – 2015. – № 2(4). – С. 152-154.
2. Ганеева, А. Р. Цифровые лаборатории в реализации проекта «Цифролето» / А. Р. Ганеева, Р. В. Костин // Перспективы и приоритеты педагогического образования в эпоху трансформаций, выбора и вызовов : сборник научных трудов VI Виртуального Международного форума по педагогическому образованию, Казань, 27 мая 2020 года. – Казань: Казанский (Приволжский) федеральный университет, 2020. – С. 88-91.
3. Мордкович, А. Г. Алгебра. 7 класс. Учебник / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов, Л. А. Александрова, Е. Л. Мардахаева. – Москва: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2020. – 367 с.