научный журнал «Актуальные исследования» #45 (124), ноябрь '22

Олимпиада «Шаг в будущее» по математике для 8 класса. Очный тур

В статье приводятся задания, предлагавшиеся учащимся восьмых классов на межрегиональной олимпиаде «Шаг в будущее» по математике в 2021-2022 учебном году, с ответами и решениями.

Аннотация статьи
олимпиада «Шаг в будущее»
МГТУ
олимпиада
математика
Ключевые слова

В статье представлены два варианта заключительного этапа межрегиональной олимпиады «Шаг в будущее» по математике для 8 классов. Задачи различных типов затрагивают большинство тем школьной программы, позволяют ученику проявить себя с помощью разных способов рассуждений, не терять интереса к процессу решения. Задачи расположены в порядке нарастания уровня сложности. Надеемся, что материал статьи будет полезен школьникам и их наставникам.

Вариант 3

  1. (10 баллов) В кастинге передачи «Последний герой» участвовали 90 человек, им было предложено 4 испытания. Первое из них успешно прошли 70 человек, второе 40, третье 85 и четвертое 75. Но все испытания не прошел никто. Найдите количество прошедших в следующий тур, если в следующий тур вышли участники, преодолевшие и третье, и четвертое испытания.
  2. (15 баллов) Пусть . Решите уравнение .
  3. (15 баллов) В выпуклом четырехугольнике ABCD AB = 12, CD = 15. Диагонали AC и BD пересекаются в точке OAC = 18, треугольники AOD и BOC имеют равные площади. Найдите AO.
  4. (20 баллов) При каких значениях параметра а уравнение   имеет одно решение?

  5. (20 баллов) В прямоугольном треугольнике АВС с гипотенузой АВ, равной 8 см, высота, проведенная к гипотенузе, равна 2 см. Найдите острые углы треугольника. Ответ дайте в градусах.
  6. (20 баллов) Даны 10 натуральных чисел, сумма любых четырёх из них чётна. Может ли произведение всех десяти чисел оканчиваться на 2020? Ответ обоснуйте.

Решения олимпиады. 8-й класс. Вариант 3

1  Первое и второе испытания прошли минимум 70 + 40 - 90 = 20 человек. Третье и четвертое минимум 85 + 75 – 90 = 70 человек. Но никто не прошел все испытания, значит, первое и второе прошли 20 человек, третье и четвёртое – 70. Ответ: 70 человек.

2. Пусть уравнение имеет вид   получаем что: 

Произведение двух множителей равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, a=b или a+b=5.

 

Ответ: {4; 1}.

3. Из равенства площадей треугольников AOD и BOC (рис. 1) и равенства углов (∠AOD=∠BOC) следует  (теорема об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу). Откуда получаем, что . При этом ∠AOB=∠DOC как вертикальные. Следовательно треугольники AOB и COD подобны. , а значит АО=8.

Рис. 1. Чертеж к задаче 3

Ответ: 8.

4. Преобразуем   

Решим графически уравнение , a≠x2-1, a≠3x+1, в системе xOa.

То есть (рис. 2).

Рис. 2. График к задаче 4

Ответ: при а = 4, а = 5, а = 7.

5. Проведем высоту СН (рис. 3) и медиану СК. По свойству медианы прямоугольного треугольника СК=АК=КВ=0,5АВ=4 см. Треугольник СКН прямоугольный, так как СН – высота. СН = 2 см, СК = 4 см, тогда угол СКН = 30о (по свойству катета в прямоугольном треугольнике). Треугольник СКВ – равнобедренный, так СК=КВ. Тогда по свойству углов равнобедренного треугольника . В треугольнике .

Рис. 3. Чертеж к задаче 5

Ответ: 15°, 75°.

  1. Очевидно, что чётность всех чисел одинакова. В противном случае, если есть числа с разной чётностью, то чисел хотя бы одной из этих чётностей хотя бы 3 (по принципу Дирихле), в таком случае, мы можем взять эти 3 числа и 1 число другой четности, и сумма этих четырех числе не будет чётной. Но если все они нечётные, то произведение нечётно, а если чётные, то делится на 210. Однако число, которое кончается на 2020, делится на 4, но не делится на 8.

Ответ: нет.

Вариант 4 (для самостоятельного решения)

  1. (10 баллов) Творческий конкурс в институт состоял из четырех заданий. Всего абитуриентов было 70 человек. Первое испытание успешно выдержали 35, второе 48, третье 64, четвертое 63 человека, при этом все 4 задания не выполнил никто. Прошедших и третье, и четвертое испытания зачислили в институт. Сколько было зачисленных?
  2. (15 баллов) Пусть . Решите уравнение .
  3. (15 баллов) В выпуклом четырехугольнике ABCD AB = 10, CD = 15. Диагонали AC и BD пересекаются в точке OAC = 20, треугольники AOD и BOC имеют равные площади. Найдите AO.
  4. (20 баллов) При каких значениях параметра а уравнение    имеет одно решение?

  5. (20 баллов) В выпуклом четырехугольнике АВСD ∠B=∠D=90o, диагонали АС и BD взаимно перпендикулярны, а диагональ АС является биссектрисой углов А и С. Найдите углы А и С, если АС = 2BD. Ответ дайте в градусах.
  6. (20 баллов) Даны 10 натуральных чисел, сумма любых четырёх из них чётна. Может ли произведение всех десяти чисел оканчиваться на 1580? Ответ обоснуйте.

 

Текст статьи
  1. Аверьянов Д.И. Задачник по геометрии для 88 класса с углубленным изучением математики. – М.: Илекса, 2006. – 126с.: ил.
  2. Афанасьева А.В., Белянова Э.Н., Блудова И.В. и др.; под ред. А.В. Афанасьевой. Сборник задач по математике для проведения рубежного контроля в 8-11-ч классах: учеб. пособие. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2013. – 65 с.: ил.
  3. Богомолова О.Б. Логические задачи по информатике. М.: Информатика и образование, 2001.
  4. Вторая Соросовская олимпиада школьников 19995-1996. Задачи и решения. М.: МЦНМО, 1996.
  5. Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов: учеб. Пособие для учащихся шк. и классов с углубл. изуч. курса математики. – М.: Просвещение, 1992. – 271 с.: ил.
  6. Гордин Р.К. Геометрия. Планиметрия. 7-9 классы. – 4-е изд., стереотип. – М.: МЦНМО, 2008. – 416 с.: ил.
  7. Квантик. Альманах для любознательных. – М.: Изд-во МЦНМО, 2015.
  8. Ибатулин И.Ж. Математические олимпиады: теория и практика. Основная школа. Учеб. пособие. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2013. – 358 с.: ил.
Список литературы