Авторы:
Власова Ольга Владимировна
Михайлова Екатерина Владимировна
Смирнова Дарья Александровна
Щепочкин Илья Михайлович
Рубрика
Математика
Ключевые слова
Аннотация статьи
Текст статьи
В статье представлены два варианта заключительного этапа межрегиональной олимпиады «Шаг в будущее» по математике для 8 классов. Задачи различных типов затрагивают большинство тем школьной программы, позволяют ученику проявить себя с помощью разных способов рассуждений, не терять интереса к процессу решения. Задачи расположены в порядке нарастания уровня сложности. Надеемся, что материал статьи будет полезен школьникам и их наставникам.
Вариант 3
(20 баллов) При каких значениях параметра а уравнение имеет одно решение?
Решения олимпиады. 8-й класс. Вариант 3
1 Первое и второе испытания прошли минимум 70 + 40 - 90 = 20 человек. Третье и четвертое минимум 85 + 75 – 90 = 70 человек. Но никто не прошел все испытания, значит, первое и второе прошли 20 человек, третье и четвёртое – 70. Ответ: 70 человек.
2. Пусть уравнение имеет вид получаем что:
Произведение двух множителей равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, a=b или a+b=5.
Ответ: {4; 1}.
3. Из равенства площадей треугольников AOD и BOC (рис. 1) и равенства углов (∠AOD=∠BOC) следует (теорема об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу). Откуда получаем, что . При этом ∠AOB=∠DOC как вертикальные. Следовательно треугольники AOB и COD подобны. , а значит АО=8.
Рис. 1. Чертеж к задаче 3
Ответ: 8.
4. Преобразуем
Решим графически уравнение , a≠x2-1, a≠3x+1, в системе xOa.
То есть (рис. 2).
Рис. 2. График к задаче 4
Ответ: при а = 4, а = 5, а = 7.
5. Проведем высоту СН (рис. 3) и медиану СК. По свойству медианы прямоугольного треугольника СК=АК=КВ=0,5АВ=4 см. Треугольник СКН прямоугольный, так как СН – высота. СН = 2 см, СК = 4 см, тогда угол СКН = 30о (по свойству катета в прямоугольном треугольнике). Треугольник СКВ – равнобедренный, так СК=КВ. Тогда по свойству углов равнобедренного треугольника . В треугольнике .
Рис. 3. Чертеж к задаче 5
Ответ: 15°, 75°.
Ответ: нет.
Вариант 4 (для самостоятельного решения)
(20 баллов) При каких значениях параметра а уравнение имеет одно решение?
Список литературы
Поделиться
Власова О. В., Михайлова Е. В., Смирнова Д. А., Щепочкин И. М. Олимпиада «Шаг в будущее» по математике для 8 класса. Очный тур // Актуальные исследования. 2022. №45 (124). С. 118-121. URL: https://apni.ru/article/4927-olimpiada-shag-v-budushchee-po-matematike-dly
8 800 200-75-17
Звонок бесплатный
info@apni.ru