Оптимизация функционалов, связанных с решениями функционально-дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве

Вопрос о минимизации функционалов, связанных с оценками решений дифференциального уравнения с запаздывающим аргументом

с неограниченными операторными коэффициентами   рассмотрен в [1]. В данной работе аналогичный вопрос исследуется для случая уравнения с распределенным запаздыванием

    (1)

где A(t,s) : Y→Y – замкнутая неограниченная оператор-функция, A(t,s): X→Y – ограниченная оператор-функция, X⊂Y, X,Y – гильбертовы пространства, .

Полагая существование  наряду с уравнением (1), будем рассматривать и уравнение

    (2)

Легко видеть, что

.    (3)

Определим оператор

называемый резольвентным оператором для  Через ϕ₀∈X, ϕ₀≠0 обозначим собственный элемент оператора A, соответствующий собственному значению λ₀, а через ϕ₁,ϕ₂,...,ϕ_n-1∈X – присоединенные к нему, что означает выполнение равенств [2]

    (4)

В дальнейшем через  обозначим пространство функций u(t)∈X с нормой , .

Лемма 1. Если , , то функция регулярна в полуплоскости .

Доказательство. Непосредственно оценивая норму производной z'(λ), имеем 

.

Лемма доказана.

Лемма 2. Если λ₀ – n-кратный полюс резольвенты R(λ), то функция 

,

где ϕ₀ – собственный элемент оператора A, соответствующий собственному значению λ₀, а ϕ₁,ϕ₂,...,ϕ_n-1 – присоединенные к ϕ₀, является решением уравнения (2).

Доказательство. Подставляя u₀(t) в (2) и затем, собирая члены при одинаковых степенях t, получим 

Таким образом,

Отсюда и из определения элементов ϕ₀,ϕ₁,ϕ₂,...,ϕ_n-1, связанных соотношениями (4), следует утверждение леммы.

Лемма 3. Если R(λ) мероморфна в полосе 0<Imλ<a, F(λ) – регулярная в этой полосе функция, то вычеты функции  относительно полюсов R(λ) в этой полосе являются решениями (производными от решений) уравнения (2).

Доказательство. Если контур γ окружает n-кратный полюс λ₀ резольвенты R(λ), то ,  на γ равномерно сходится к функции ,

где .

Нетрудно показать, что ϕ_k удовлетворяет соотношениям (4).

Доказательство леммы в случае  проводится аналогично.

Теорема 1. Пусть выполнены условия:

а) u(t) – решение уравнения (1), 

б) R(λ) мероморфна,   

в)

Тогда ∀ε>0 имеется конечное число решений вида , уравнения (2), где λ_k - полюс резольвенты R(λ),  – многочлен, степень которого на единицу меньше кратности полюса λ_k, что имеет место

,    (5)

где постоянная C зависит от a и не зависит от решения u(t).

Доказательство. Рассмотрим функцию η(t)∈C^∞, η(t)=0, t≤t₀, η(t)=1, t≥t₀+1, 0≤η(t)≤1. Тогда для ϑ(t)=η(t)u(t) имеем 

и затем, применив преобразование Фурье, получим

    (6)

где .

Так как η(t)=0, t≤t₀, то в силу условия в) теоремы и леммы 1 функция z(λ) регулярна в полуплоскости Imλ<a. Функция  регулярна для Imλ<a в силу условия в) теоремы. Что касается функции (u(t)D_tη(t)), то она является целой функцией экспоненциального типа как преобразование Фурье финитной функции u(t)D_tη(t) в силу хорошо известной теоремы Пели-Винера.

Таким образом, F(λ) регулярна в полосе 0<Imλ<a, а потому полюса ϑ(λ) и R(λ) в этой полосе совпадают. Пусть ε>0 и δ>0 таковы, что a-ε<δ<a и в полосе 0≤Imλ≤a-ε, 0≤Imλ≤δ резольвента R(λ) имеет одинаковое число полюсов. Теперь докажем, что  равномерно в полосе 0≤Imλ≤δ при |λ|→∞. Для первых двух слагаемых в фигурных скобках в правой части равенства (5) это очевидно. Что касается функции z(λ), то имеем

в силу условий а), г) теоремы, где γ>0, 0≤Imλ<a, Imλ+γ<a.

Теперь из теоремы Римана-Лебега следует равномерное стремление к нулю  при  в полосе 0≤Imλ≤δ и  при s→∞. В силу условия а) теоремы и теоремы Планшереля ([1], с. 358) ϑ(λ) не имеет полюсов на Imλ=0. Теперь по теореме Коши о вычетах будем иметь 

.

Применяя леммы 2), 3) и теорему Планшереля из последнего равенства имеем

.

Оценивая последнюю норму, имеем

Теорема доказана.

Замечание 1. Если в условиях а), б) теоремы 1  и  заменить на  и  соответственно, то можно получить аналогично оценке (5) асимптотическую оценку для производной u'(t) решения u(t) в виде

.    (7)

Теперь рассмотрим функционалы

как функции от коэффициентов ,  и поставим задачу их минимизации по этим коэффициентам. Очевидно, что это равносильно задаче минимизации функций.

Рассматривая первую из них, имеем

,

δ_ij – символ Кронекера. Далее, приравнивая к нулю первые производные

,

получим систему

  .

Дальнейшее доказательство аналогично доказательству теоремы 2.3.1 [1] для случая .

Замечание 2. Если в формулировке теоремы добавить условие  0≤Imλ<a, то оценку (5) .