Рассматривается уравнение
(1)
с неограниченными линейными операторными коэффициентами
: X→Y
,
,
и
– гильбертовы пространства,
,
,
,
,
,
.
Оператор
, где пространства
и
определяются нормами
и
соответственно. Подробные определения см. [1, с.6-12]. Нам также понадобится пространство , определяемое нормой
Если уравнение (1) рассматривается на полуоси t>0, то начальное множество , а начальное условие сводится к
,
.
Уравнение (1) запишем в виде
.
Тогда для оператора резольвентным оператором будет
.
Для , где
.
Отсюда
t
.
Применяя к этому уравнению преобразование Фурье, получим
Теорема. Пусть регулярна,
,
,
,
,
.
Тогда существует ε>0 такое, что если , то оператор
непрерывно обратим.
Доказательство. Представим уравнение (1) виде
.
В силу теоремы 1 [2, с.185], оператор обратим. Тогда по теореме из функционального анализа об обратимости оператора, мало отличающегося от обратимого, из последнего неравенства следует, что оператор
непрерывно обратим, что означает существование единственного решения u(t) уравнения
, принадлежащего пространству
для
. Остается показать, что
для
,
. Для любого
существует единственное решение
и справедливо неравенство
, т.е.
.
Отсюда имеем
. Умножая обе части полученного неравенства на
, получим
.
Так как в силу условий на резольвенту можно полагать , то отсюда вытекает
или
.
Отсюда следует
при
. Таким образом,
.
, что означает равенство почти всюду решения
в
. В силу произвольности
,
.
Аналогично можно показать, что ,
,
.