Главная
Конференции
Траектория научно-технологического развития России с учетом глобальных трендов
О существовании решений ФДУ n-го порядка с экспоненциально убывающими коэффициен...

О существовании решений ФДУ n-го порядка с экспоненциально убывающими коэффициентами в гильбертовом пространстве

Авторы:

Эмирова Ирина Султановна

Рубрика

Физико-математические науки

Ключевые слова

функционально-дифференциальные уравнения
отклонение аргумента
гильбертово пространство
экспонента
операторные коэффициенты
резольвента
норма

Аннотация статьи

Рассматривается функционально-дифференциальное уравнение n-го порядка с экспоненциально-убывающими коэффициентами в гильбертовом пространстве. Доказывается теорема о непрерывной обратимости оператора при определенных условиях на резольвенту. Решение уравнения обращается в нуль на полуоси.

Текст статьи

Рассматривается уравнение

 (1)
с неограниченными линейными операторными коэффициентами

: XY , ,  и – гильбертовы пространства,    , , , ,     , . 

Оператор    , где пространства  и определяются нормами

и


соответственно. Подробные определения см. [1, с.6-12]. Нам также понадобится пространство , определяемое нормой


Если уравнение (1) рассматривается на полуоси t>0, то начальное множество , а начальное условие сводится к , .
Уравнение (1) запишем в виде

.
Тогда для оператора  резольвентным оператором будет


.
Для , где

.
Отсюда

 t .

Применяя к этому уравнению преобразование Фурье, получим


Теорема. Пусть регулярна, ,  , , , .

Тогда существует ε>0 такое, что если , то оператор  непрерывно обратим.

Доказательство. Представим уравнение (1) виде

.

В силу теоремы 1 [2, с.185], оператор обратим. Тогда по теореме из функционального анализа об обратимости оператора, мало отличающегося от обратимого, из последнего неравенства следует, что оператор непрерывно обратим, что означает существование единственного решения u(t) уравнения, принадлежащего пространству  для    . Остается показать, что  для , . Для любого  существует единственное решение  и справедливо неравенство , т.е.

.

Отсюда имеем    . Умножая обе части полученного неравенства на , получим

.

Так как в силу условий на резольвенту можно полагать , то отсюда вытекает


или

.

Отсюда следует

при . Таким образом,  . , что означает равенство почти всюду решения  в . В силу произвольности , .
Аналогично можно показать, что , .

Список литературы

  1. Алиев Р.Г. Функционально-дифференциальные уравнения в гильбертовом пространстве, Махачкала: ИПЦ ДГУ, 2001. 256 с.
  2. Чан Р. О разрешимости уравнений с постоянными операторными коэффициентами и отклонениями аргумента в гильбертовом пространстве // Сб. статей студентов, аспирантов и преподавателей университета. Махачкала, 1993. С. 184-187.

Поделиться

1040

Эмирова И. С. О существовании решений ФДУ n-го порядка с экспоненциально убывающими коэффициентами в гильбертовом пространстве // Траектория научно-технологического развития России с учетом глобальных трендов : сборник научных трудов по материалам Международной научно-практической конференции 29 ноября 2019г. : Белгород : ООО Агентство перспективных научных исследований (АПНИ), 2019. С. 10-14. URL: https://apni.ru/article/54-o-sushchestvovanii-reshenij-fdu-n-go-poryadka

Другие статьи из раздела «Физико-математические науки»

Все статьи выпуска
Актуальные исследования

#200

Прием материалов

27 апреля - 3 мая

осталось 17 дней

Размещение PDF-версии журнала

8 мая

Размещение электронной версии статьи

сразу после оплаты

Рассылка печатных экземпляров

17 мая