Рассматривается уравнение
(1)
с неограниченными линейными операторными коэффициентами
: X→Y
, 
, 
и 
– гильбертовы пространства, 
, 
, 
, 
, 
, 
.
Оператор 
, где пространства 
и 
определяются нормами
и
соответственно. Подробные определения см. [1, с.6-12]. Нам также понадобится пространство 
, определяемое нормой
Если уравнение (1) рассматривается на полуоси t>0, то начальное множество 
, а начальное условие сводится к 
, 
.
Уравнение (1) запишем в виде
.
Тогда для оператора 
резольвентным оператором будет
.
Для 
, где
.
Отсюда
t
.
Применяя к этому уравнению преобразование Фурье, получим
Теорема. Пусть
регулярна, 
, 
, 
, 
, 
.
Тогда существует ε>0 такое, что если 
, то оператор 
непрерывно обратим.
Доказательство. Представим уравнение (1) виде
.
В силу теоремы 1 [2, с.185], оператор 
обратим. Тогда по теореме из функционального анализа об обратимости оператора, мало отличающегося от обратимого, из последнего неравенства следует, что оператор
непрерывно обратим, что означает существование единственного решения u(t) уравнения
, принадлежащего пространству 
для 
. Остается показать, что 
для 
, 
. Для любого 
существует единственное решение 
и справедливо неравенство 
, т.е.
.
Отсюда имеем 
. Умножая обе части полученного неравенства на 
, получим
.
Так как в силу условий на резольвенту можно полагать , то отсюда вытекает
или
.
Отсюда следует
при 
. Таким образом, 
. 
, что означает равенство почти всюду решения 
в 
. В силу произвольности
, 
.
Аналогично можно показать, что 
, 
, 
.
