О существовании решений ФДУ n-го порядка с экспоненциально убывающими коэффициентами в гильбертовом пространстве

Рассматривается уравнение

 (1)
с неограниченными линейными операторными коэффициентами

: X→Y , ,  и – гильбертовы пространства,    , , , ,     , . 

Оператор    , где пространства  и определяются нормами

и

соответственно. Подробные определения см. [1, с.6-12]. Нам также понадобится пространство , определяемое нормой

Если уравнение (1) рассматривается на полуоси t>0, то начальное множество , а начальное условие сводится к , .
Уравнение (1) запишем в виде

.
Тогда для оператора  резольвентным оператором будет

.
Для , где

.
Отсюда

 t .

Применяя к этому уравнению преобразование Фурье, получим

Теорема. Пусть регулярна, ,  , , , .

Тогда существует ε>0 такое, что если , то оператор  непрерывно обратим.

Доказательство. Представим уравнение (1) виде

.

В силу теоремы 1 [2, с.185], оператор обратим. Тогда по теореме из функционального анализа об обратимости оператора, мало отличающегося от обратимого, из последнего неравенства следует, что оператор непрерывно обратим, что означает существование единственного решения u(t) уравнения, принадлежащего пространству  для    . Остается показать, что  для , . Для любого  существует единственное решение  и справедливо неравенство , т.е.

.

Отсюда имеем    . Умножая обе части полученного неравенства на , получим

.

Так как в силу условий на резольвенту можно полагать , то отсюда вытекает

или

.

Отсюда следует

при . Таким образом,  ^. , что означает равенство почти всюду решения  в . В силу произвольности , .
Аналогично можно показать, что , ,  .