Особенности обоснования метода декомпозиции в решении показательных и логарифмических неравенств

Сегодня современные средства контроля решения показательных и логарифмических неравенств предусматривают включения в КИМы нестандартных неравенств, решаемых сложно, а иногда и традиционными методами их решать весьма проблемно – даже методом интервалов. Использования этого метода связано с умением распознавать и учитывать ряд особенностей. Перечислим некоторые из них.

При решении неравенств методом интервалов вычисление значений функций в промежуточных точках может вызвать трудности вычислительного характера. С другой стороны, применение свойства знакочередования рациональной функции сводит вычисления до минимального количества математических действий. Очевидно, что расширение этих и других свойств функций целесообразно и с точки зрения математики, и с точки зрения методики обучения. Чтобы расширить возможности применения метода интервалов при решении неравенств, можно использовать идею рационализации неравенств.

Метод декомпозиции заключается в замене сложного выражения F(x) на более простое выражение G(x) (в конечном счете, рациональное), при которой неравенство G(x)>0 (G(x)<0) равносильно неравенству F(x)>0 (F(x)<0) в области определения выражения F(x). В этом случае будем говорить, что выражение G(x) является рационализацией (или рационализирующим выражением) для выражения F(x).

Идея метода декомпозиции состоит в использовании свойств монотонной функции.

Сначала напомним теорему о корне монотонной функции.

Теорема. Если p(x) – функция, монотонная на промежутке M, и E(p) – множество ее значений на этом промежутке, то для любого числа c ∈ E(p) существует и притом единственный корень x₀ ∈ M 0x M уравнения p(x)=c.

Следствие 1. Если p(x) – возрастающая функция на промежутке M, то для любых чисел x₁, x₂ ∈ M неравенства p(x₁)≥p(x₂) и x₁≥x₂ равносильны, или p(x₁)-p(x₂)≥0< = >x₁-x₂≥0 (аналогично (x₁)-p(x₂)>0< = >x₁-x₂>0).

Следствие 2. Если p(x) – убывающая функция на промежутке M, то для любых чисел x₁, x₂ ∈ M неравенства p(x₁)≥p(x₂) и x₁≤x₂ равносильны, или p(x₁)-p(x₂)≥0< = >x₁-x₂≤0 (аналогично p(x₁)-p(x₂)>0< = >x₁-x₂<0).

Отметим, что функции p(t)=log_at и p(t)=a^t являются монотонными на всей своей области определения, причем при a>1 они являются возрастающими, а при 0<a<1 – убывающими.

Рассмотрим знаки выражений F(x)= log_af(x)-log_ag(x), f(x)-g(x) и G(x)=(a-1)(f(x)-g(x)) в зависимости от a на области определения F(x), заданной системой неравенств

    (1)

где f(x), g(x) функции, a основание логарифма.

Таблица 1

Зависимость основания a от логарифмических функций

Источник: Учебное пособие «Решение показательных и логарифмических уравнений, неравенств и систем уравнений повышенного и высокого уровня сложности.

Из таблицы следует, что выражения F(x) и G(x) при всех допустимых значениях x имеют одинаковые знаки.

Полученный результат запишем в виде теоремы.

Теорема 1. При a>0 и a≠1 знаки выражений log_af(x)-log_ag(x) и (a-1)(f(x)-g(x)) совпадают для всех значений x таких, что f(x)>0 и g(x)>0.

Поскольку при a>0 и a≠1 и всех допустимых значениях x справедливы равенства:

log_af(x)-b=log_af(x)-log_aa^b,

log_af(x)=log_af(x)-0=log_af(x)-log_a1,

то получаем следующие следствия из теоремы 1.

Следствие 1. При a>0 и a≠1 знаки выражений

log_af(x)-b и (a-1)(f(x)-a^b)

совпадают для всех значений x таких, что f(x)>0.

Следствие 2. При a>0 и a≠1 знаки выражений

log_af(x) и (a-1)(f(x)-1)

совпадают для всех значений x таких, что f(x)>0.

Замечание. Для выражения log_af(x)+log_ag(x) или log_a(f(x)g(x)) рационализацией является выражение (a-1)(f(x)g(x)-1) при условиях.

Метод декомпозиции используют при решении неравенств вида F(x)∨0, где символ ∨ означает один из знаков неравенств ≥, ≤, >, <, в которых выражение F(x) удается рационализировать, либо выражение

    (2)

записано в виде произведения или частного выражений, каждое из которых можно рационализировать.

Например, при соответствующих ограничениях на переменную x:

неравенство (log_af(x))*(log_ag(x))>0 равносильно неравенству

(a-1)(f(x)-1)(b-1)(g(x)-1)>0;

неравенство  равносильно неравенству 

Стандартные ошибки, которые допускают учащиеся при использовании метода рационализации, заключаются в следующем:

• проводят рационализацию без учета области определения данного неравенства;
• применяют метод рационализации к неравенствам, не приведенным к стандартному виду F(x)∨0;
• формально применяют метод рационализации к выражениям вида log_af(x)+log_ag(x), заменяя на выражение f(x)+g(x) (см. выше замечание);
• подменяют формулировку «о совпадении знаков выражений для каждого допустимого значения x» на неверную формулировку «о совпадении значений выражений для каждого допустимого значения x».

Рассмотрим теперь неравенства, содержащие логарифмы с переменным основанием и выражения под знаком логарифма, содержащие функции, зависящие от x.

Теорема 2. Знаки выражений

log_h(x)f(x)-log_h(x)g(x) и (h(x)-1)(f(x)-g(x)), при  условии h(x)>0, h(x)≠1, f(x)>0, g(x)>0,

log_h(x)f(x)-b и (h(x)-1)(f(x)-(h(x)))^b при условии, что h(x)>0, h(x)≠1, f(x)>0,

log_h(x)f(x) и (h(x)-1)(f(x)-1), при условии что, h(x)>0, h(x)≠1, f(x)>0,

log_f(x)h(x)-log_g(x)h(x) и (f(x)-1)(g(x)-1)(g(x)-f(x))(h(x)-1), при условии что f(x)>0, f(x)≠1, g(x)>0, g(x)≠1, f(x)>0, h(x)>0, 

h(x)^f(x)-h(x)^g(x) и (h(x)-1)(f(x)-g(x)) при условии что h(x)>0,

h(x)^f(x)-1 и (h(x)-1)*f(x) при условии, что h(x)>0,

a^f(x)-a^g(x) и (a-1)(f(x)-g(x)) при условии, что числа a>0, 

f(x)^h(x)-g(x)^h(x) и (f(x)-g(x))h(x) при условии, что f(x)>0, g(x)>0,

 и f(x)-g(x), при условии, что n∈N,

 и f(x)-g(x) при условии, что f(x)>0, g(x)>0, n∈N,

 |f(x)|-|g(x)| и (f(x)-g(x))(f(x)+g(x)) совпадают для всех допустимых значений x в соответствующих условиях.

Пример 1. Решить неравенство

Решение. ОДЗ данного неравенства следующее

 

Решая эту систему получаем x∈(-∞;-4)∪(0;1)∪(1;+∞).

Применим свойство степени логарифмируемого числа, то есть коэффициент 2 выразим как квадрат аргумента:

Применим теорему 1 и следствие из нее, получим

Числитель и знаменатель дроби разложим по формуле разность квадратов

Решение данного неравества

x∈[-5;-3]∪(-1;1),

Учитывая ранее найденное ОДЗ получается ответ

x∈[-5;-4)]∪[0;1).

Описание данного примера говорит о целесообразности указания ссылок на вышеприведенные теоремы и следствия из них. Другими словами: обоснованность использования метода декомпозиции необходимая часть решения таких неравенств. Ниже приведена таблица ориентировок для обоснования шагов решений показательных и логарифмических неравенств.

Таблица 1

Ориентировки для обоснования шагов решений показательных и логарифмических неравенств

Источник: Учебное пособие «Решение показательных и логарифмических уравнений, неравенств и систем уравнений повышенного и высокого уровня сложности.

Сделаем выводы.

Не традиционность некоторых видов показательных и логарифмических неравенств требует обоснования использования метода декомпозиции.

Метод декомпозиции следует рассматривать как обобщение метода интервалов в свете свойств показательных и логарифмических функций.

На первых шагах обучения метода декомпозиции при решении показательных и логарифмических неравенств детализация обоснования обязательна. Качественное освоение отдельных теорем и следствий из них может служить основанием для укрупнения шагов обоснования с применением «замен» указанных в таблице.