Главная
АИ #6 (136)
Статьи журнала АИ #6 (136)
Особенности обоснования метода декомпозиции в решении показательных и логарифмич...

Особенности обоснования метода декомпозиции в решении показательных и логарифмических неравенств

Автор(-ы):

Кабачевская Екатерина Валерьевна

Макарченко Михаил Геннадьевич

9 февраля 2023

Секция

Педагогика

Ключевые слова

метод декомпозиции
логарифмическое неравенство
метод интервалов
схема равносильности

Аннотация статьи

В этой статье речь пойдет о решении показательных и логарифмических неравенств методом декомпозиции. Приведен пример решения логарифмического неравенства для решения с помощью метода декомпозиции и остальными способами.

Текст статьи

Сегодня современные средства контроля решения показательных и логарифмических неравенств предусматривают включения в КИМы нестандартных неравенств, решаемых сложно, а иногда и традиционными методами их решать весьма проблемно – даже методом интервалов. Использования этого метода связано с умением распознавать и учитывать ряд особенностей. Перечислим некоторые из них.

При решении неравенств методом интервалов вычисление значений функций в промежуточных точках может вызвать трудности вычислительного характера. С другой стороны, применение свойства знакочередования рациональной функции сводит вычисления до минимального количества математических действий. Очевидно, что расширение этих и других свойств функций целесообразно и с точки зрения математики, и с точки зрения методики обучения. Чтобы расширить возможности применения метода интервалов при решении неравенств, можно использовать идею рационализации неравенств.

Метод декомпозиции заключается в замене сложного выражения F(x) на более простое выражение G(x) (в конечном счете, рациональное), при которой неравенство G(x)>0 (G(x)<0) равносильно неравенству F(x)>0 (F(x)<0) в области определения выражения F(x). В этом случае будем говорить, что выражение G(x) является рационализацией (или рационализирующим выражением) для выражения F(x).

Идея метода декомпозиции состоит в использовании свойств монотонной функции.

Сначала напомним теорему о корне монотонной функции.

Теорема. Если p(x) – функция, монотонная на промежутке M, и E(p) – множество ее значений на этом промежутке, то для любого числа c ∈ E(p) существует и притом единственный корень x∈ M 0x M уравнения p(x)=c.

Следствие 1. Если p(x) – возрастающая функция на промежутке M, то для любых чисел x1, x∈ M неравенства p(x1)≥p(x2) и x1≥x2 равносильны, или p(x1)-p(x2)≥0< = >x1-x2≥0 (аналогично (x1)-p(x2)>0< = >x1-x2>0).

Следствие 2. Если p(x) – убывающая функция на промежутке M, то для любых чисел x1, x∈ M неравенства p(x1)≥p(x2) и x1≤x2 равносильны, или p(x1)-p(x2)≥0< = >x1-x2≤0 (аналогично p(x1)-p(x2)>0< = >x1-x2<0).

Отметим, что функции p(t)=logat и p(t)=at являются монотонными на всей своей области определения, причем при a>1 они являются возрастающими, а при 0<a<1 – убывающими.

Рассмотрим знаки выражений F(x)= logaf(x)-logag(x), f(x)-g(x) и G(x)=(a-1)(f(x)-g(x)) в зависимости от a на области определения F(x), заданной системой неравенств

    (1)

где f(x), g(x) функции, a основание логарифма.

Таблица 1

Зависимость основания a от логарифмических функций

a

F(x)

f(x)-g(x)

G(x)

a>1

+

+

+

a>1

0<a<1

+

+

0<a<1

+

Источник: Учебное пособие «Решение показательных и логарифмических уравнений, неравенств и систем уравнений повышенного и высокого уровня сложности.

Из таблицы следует, что выражения F(x) и G(x) при всех допустимых значениях x имеют одинаковые знаки.

Полученный результат запишем в виде теоремы.

Теорема 1. При a>0 и a≠1 знаки выражений logaf(x)-logag(x) и (a-1)(f(x)-g(x)) совпадают для всех значений x таких, что f(x)>0 и g(x)>0.

Поскольку при a>0 и a≠1 и всех допустимых значениях x справедливы равенства:

logaf(x)-b=logaf(x)-logaab,

logaf(x)=logaf(x)-0=logaf(x)-loga1,

то получаем следующие следствия из теоремы 1.

Следствие 1. При a>0 и a≠1 знаки выражений

logaf(x)-b и (a-1)(f(x)-ab)

совпадают для всех значений x таких, что f(x)>0.

Следствие 2. При a>0 и a≠1 знаки выражений

logaf(x) и (a-1)(f(x)-1)

совпадают для всех значений x таких, что f(x)>0.

Замечание. Для выражения logaf(x)+logag(x) или loga(f(x)g(x)) рационализацией является выражение (a-1)(f(x)g(x)-1) при условиях.

Метод декомпозиции используют при решении неравенств вида F(x)∨0, где символ ∨ означает один из знаков неравенств ≥, ≤, >, <, в которых выражение F(x) удается рационализировать, либо выражение

    (2)

записано в виде произведения или частного выражений, каждое из которых можно рационализировать.

Например, при соответствующих ограничениях на переменную x:

неравенство (logaf(x))*(logag(x))>0 равносильно неравенству

(a-1)(f(x)-1)(b-1)(g(x)-1)>0;

неравенство  равносильно неравенству 

Стандартные ошибки, которые допускают учащиеся при использовании метода рационализации, заключаются в следующем:

  • проводят рационализацию без учета области определения данного неравенства;
  • применяют метод рационализации к неравенствам, не приведенным к стандартному виду F(x)∨0;
  • формально применяют метод рационализации к выражениям вида logaf(x)+logag(x), заменяя на выражение f(x)+g(x) (см. выше замечание);
  • подменяют формулировку «о совпадении знаков выражений для каждого допустимого значения x» на неверную формулировку «о совпадении значений выражений для каждого допустимого значения x».

Рассмотрим теперь неравенства, содержащие логарифмы с переменным основанием и выражения под знаком логарифма, содержащие функции, зависящие от x.

Теорема 2. Знаки выражений

logh(x)f(x)-logh(x)g(x) и (h(x)-1)(f(x)-g(x)), при  условии h(x)>0, h(x)≠1, f(x)>0, g(x)>0,

logh(x)f(x)-b и (h(x)-1)(f(x)-(h(x)))b при условии, что h(x)>0, h(x)≠1, f(x)>0,

logh(x)f(x) и (h(x)-1)(f(x)-1), при условии что, h(x)>0, h(x)≠1, f(x)>0,

logf(x)h(x)-logg(x)h(x) и (f(x)-1)(g(x)-1)(g(x)-f(x))(h(x)-1), при условии что f(x)>0, f(x)≠1, g(x)>0, g(x)≠1, f(x)>0, h(x)>0, 

h(x)f(x)-h(x)g(x) и (h(x)-1)(f(x)-g(x)) при условии что h(x)>0,

h(x)f(x)-1 и (h(x)-1)*f(x) при условии, что h(x)>0,

af(x)-ag(x) и (a-1)(f(x)-g(x)) при условии, что числа a>0, 

f(x)h(x)-g(x)h(x) и (f(x)-g(x))h(x) при условии, что f(x)>0, g(x)>0,

 и f(x)-g(x), при условии, что n∈N,

 и f(x)-g(x) при условии, что f(x)>0, g(x)>0, n∈N,

 |f(x)|-|g(x)| и (f(x)-g(x))(f(x)+g(x)) совпадают для всех допустимых значений x в соответствующих условиях.

Пример 1. Решить неравенство

Решение. ОДЗ данного неравенства следующее

 

Решая эту систему получаем x∈(-∞;-4)∪(0;1)∪(1;+∞).

Применим свойство степени логарифмируемого числа, то есть коэффициент 2 выразим как квадрат аргумента:

Применим теорему 1 и следствие из нее, получим

Числитель и знаменатель дроби разложим по формуле разность квадратов

Решение данного неравества

x∈[-5;-3]∪(-1;1),

Учитывая ранее найденное ОДЗ получается ответ

x∈[-5;-4)]∪[0;1).

Описание данного примера говорит о целесообразности указания ссылок на вышеприведенные теоремы и следствия из них. Другими словами: обоснованность использования метода декомпозиции необходимая часть решения таких неравенств. Ниже приведена таблица ориентировок для обоснования шагов решений показательных и логарифмических неравенств.

Таблица 1

Ориентировки для обоснования шагов решений показательных и логарифмических неравенств

Выражение F

Выражение G

1

2

3

4

5

6

Источник: Учебное пособие «Решение показательных и логарифмических уравнений, неравенств и систем уравнений повышенного и высокого уровня сложности.

Сделаем выводы.

Не традиционность некоторых видов показательных и логарифмических неравенств требует обоснования использования метода декомпозиции.

Метод декомпозиции следует рассматривать как обобщение метода интервалов в свете свойств показательных и логарифмических функций.

На первых шагах обучения метода декомпозиции при решении показательных и логарифмических неравенств детализация обоснования обязательна. Качественное освоение отдельных теорем и следствий из них может служить основанием для укрупнения шагов обоснования с применением «замен» указанных в таблице.

Список литературы

  1. Дорофеев, Г. В. Обобщение метода интервалов // Математика в школе. – 1969. – № 3.
  2. Корянов, А. Г. Методы решения неравенств с одной переменной [Электронный ресурс] / А. Г. Корянов, А. А. Прокофьев. – Электрон. дан. – Режим доступа: http://alexlarin.net/ege/2011/c3-2011.pdf.
  3. Мендель, В. В. Метод рационализации при решении показательных и логарифмических неравенств [Электронный ресурс] / В. В. Мендель. – Электрон. дан. – Режим доступа: khpms.khspu.ru/wp-content/ uploads/kr_2_m_11_12/doc.
  4. Мирошин, В. В. Решение задач с параметрами. Теория и практика / В. В. Мирошин. – М.: Экзамен, 2009. – 286 с.
  5. Моденов, В. П. Пособие по математике / В. П. Моденов. – М.: Изд-во Москов. гос. ун-та, 1972. – Ч. 2. 6. Моденов, В. П. Метод декомпозиции при решении трансцендентных неравенств // Математика в школе. – 2001. – № 5.
  6. Крамор В. С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа. – М.: Просвещение. 1991. – 416 с.
  7. Оптимальный банк заданий для подготовки учащихся. Единый государственный экзамен 2021. Математика: учеб. пособие / А. В. Семенов, А. С. Трепалин, И. В. Ященко, П. И. Захаров; под ред. И. В. Ященко; Московский Центр непрерывного математического образования. – М.: ИнтеллектЦентр, 2021. – 80 с.
  8. Ященко И. В. и др. Подготовка к ЕГЭ по математике в 2021 году. Базовый и профильный уровни: метод. Указания / И. В. Ященко, С. А. Шестаков, А. С. Трепалин. – М.: МЦНМО, 2021. – 288 с.
  9. Васильева Е. Н., Ольховая Л. С. Математика. Подготовка к ЕГЭ: секреты оценки заданий повышенного и высокого уровней сложностей. Решения и комментарии: учеб.-метод. пособие. – Изд. 2-е, перераб. – Ростов н/Д: Легион, 2014. – 192 с.
  10. Кассарина Э. В. Метод рационализации при решении логарифмических неравенств с переменным основанием. – URL: http://открытыйурок.рф/%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8/642973/ 12. Сборник задач для поступающих во втузы / под ред. М. И. Сканави. – М.: Высш. шк., 1992. – 528 с.

Поделиться

459

Кабачевская Е. В., Макарченко М. Г. Особенности обоснования метода декомпозиции в решении показательных и логарифмических неравенств // Актуальные исследования. 2023. №6 (136). Ч.I.С. 7-10. URL: https://apni.ru/article/5602-osobennosti-obosnovaniya-metoda-dekompozitsii

Похожие статьи

Другие статьи из раздела «Педагогика»

Все статьи выпуска
Актуальные исследования

#24 (206)

Прием материалов

8 июня - 14 июня

Остался последний день

Размещение PDF-версии журнала

19 июня

Размещение электронной версии статьи

сразу после оплаты

Рассылка печатных экземпляров

28 июня