Семестровая работа по математике (10 класс, 1 полугодие) в Бауманской инженерной школе №1580

Задание 1. Упростить выражение:

Решение. В этом задании проверяются следующие навыки ученика:

1. Правильно упрощать выражение, содержащее корень n-ой степени,  и тому подобное, то есть ;
2. Правильно раскрывать модуль, с учетом условия, |x-1|=1-x, так как, x<1/2;
3. Правильно вносить отрицательный знак, находящийся перед дробью, в ее числитель, например,

В результате один из вариантов правильного упрощения исходного выражения выглядит так:

.

Замечание. Множество определения исходного выражения совпадает с множеством определения конечного выражения.

Ответ.

Задание 2.

Упростить выражение до одной функции и константы: .

Решение. В этом задании проверяются следующие навыки ученика:

1. Правильно применять формулы приведения,  и
2. Правильно применять формулы суммы (разности) синуса и косинуса, синуса двойного угла,

;

.

В результате, один из вариантов правильного упрощения исходного выражения выглядит так:

Замечание. Множество определения исходного выражения совпадает с множеством определения конечного выражения.

Ответ.

Задание 3. Решить неравенство: .

Решение. В этом задании проверяются навыки ученика при решении неравенства обобщенным методом интервалов:

1. Все выражения переносятся в одну, например, левую часть неравенства ;

2. Дроби приводятся к общему знаменателю ;

3. Числитель полученной дроби раскладывается на множители 3x-1-34x+33x-43x+22x-3≥0.

Нули сомножителей и числителя:

  

и знаменателя  расставляются на числовой оси.

4. Определяются знаки полученных промежутков (рис. 1).

Рис. 1

Выписывается ответ .

Замечание. Проверяется умение решать уравнения с модулем: |3x-1|-3=0.

Ответ.

Задание 4. Решить неравенство:

Решение. При решении неравенства будем использовать равносильные переходы:

,  

Получим следующее решение:

,

,

,

.

Ответ.  

Задание 5. При каких значениях a прямые  имеют хотя бы одну общую точку с отрицательной ординатой?

Решение. Так как в задаче идет речь об общей точке прямых, то исследуем пересечение этих прямых. Для этого рассмотрим линейное уравнение с параметром:

1. Если  то уравнение имеет вид 0∙x=0, следовательно, прямые совпадают. Уточним уравнение прямой, с которой совпадут прямые из условия. При a=2 уравнение этой прямой y=20x+1 и на этой общей прямой есть хотя бы одна общая точка с отрицательной ординатой. Следовательно, значение параметра a=2 включается в ответ.

При a=-2 уравнение соответствующей прямой y=1. В этом случае на общей прямой все точки с положительной ординатой. Следовательно, значение параметра a=-2 не включается в ответ.

2. Если  то x=1 - абсцисса общей точки прямых из условия, а ордината общей точки  При всех значениях a:  Следовательно, при рассматриваемых значениях параметра a ордината общей точки прямых положительная и в ответ ни одно из рассматриваемых значений параметра не попадает.

Ответ. 2.

Задание 6. В треугольнике ABC на стороне AB взята точка D, а на стороне BC точки E и F так, что AD:DB=3:2, BE:EC=1:3 и BF:FC=4:1, прямые AE и FD пересекаются в точке O. Найти площадь треугольника FOE, если площадь треугольника FDB равна 224.

Решение.

Рис. 2

Треугольники FOE и FDB имеют общий угол (рис. 2), поэтому  Из этого равенства, зная  найдем  Осталось только определить отношения  .

1. Найдем сначала  По условию   следовательно,

Заметим, что нам известно и такое отношение

2. Найдем отношение  По теореме Менелая для треугольника FDB и секущей AE получаем:   следовательно,

3. Теперь можно найти

 

Ответ. 121.

Задание 7. Решите уравнение:

Решение. 1 способ. Замена:  тогда  уравнение можно записать в виде  Рассмотрим уравнение как квадратное относительно t:

   .

Тогда  .

2 способ. x=0 не решение уравнения. Разделим обе части уравнения на x², чтобы прояснить схожесть частей уравнения: . Пусть  тогда  уравнение можно записать в виде   следовательно   Получаем два квадратных уравнения, как и в 1 способе.

Ответ. .

Задание 8. Найдите значения параметра a, при которых уравнение

имеет два различных решения.

Решение. ОДЗ: . Обозначим

1) Линейный случай: a=2. Выражение для f(x) примет вид -7x+3. Решение уравнения  таким образом a=2 не подходит, так как решение уравнения только одно.

2) Пусть a≠2. Опишем параболы, которые соответствуют двум различным решениям на интервале (-1;1): . Решая систему, получаем .

Ответ. .

Задание 9. Дан ромб ABCD, ∠BAD=60°, AD=2a.  Вне плоскости ромба взяли точку T так, что отрезок TK перпендикулярен плоскости ромба, TK=a. Точка K - середина стороны BC, точка N - середина отрезка BT, точка M  - середина отрезка DT, точка L - середина отрезка DC. а) Исследуйте взаимное расположение прямых AN и ML, обоснуйте свои выводы с помощью теоретических фактов и вычислений. б) Найдите угол между прямыми AN и ML. в) Найдите угол между прямой BD и плоскостью BTC. г) Найдите расстояние от точки N до прямой DC.

Решение. 1 способ. Достроим пирамиду TABCD. ∆AML  - сечение пирамиды (рис. 3), N∉(AML), (ML)⊂(AML), (AN)∩(AML)=A и A∉(ML). По признаку скрещивающихся прямых - прямые AN и ML скрещиваются. Способ быстрый, но не приближает к нахождению угла между прямыми.

Рис. 3

2 способ. Построим прямую пересечения l плоскостей ABT и DCT. Так как AB параллельна CD, то и l∥AB, l∥CD (рис. 4).

Рис. 4

Если наши прямые и пересекаются, то на прямой l. Пусть  тогда  (рис. 5).

Рис. 5

Пусть l∩LM=L₁, тогда  (рис. 6).

Рис. 6

Так как  то N₁≠L₁. Далее, AN⊂(ABT),  LM∩(ABT)=L₁, L₁∉AN и, по признаку скрещивающихся прямых, прямые AN и ML скрещиваются.

б) Проведем  тогда  - параллелограмм по определению и  (рис. 7).

Рис. 7

Найдем угол между прямыми AN и ML. Так как TC∥ML, то  или смежному с ним (рис. 8).

Рис. 8

Рис. 9

По теореме косинусов в  (рис. 9):  по теореме косинусов в   по теореме косинусов в   Следовательно,  окончательно получаем ответ

Ответ.

в) Найдем угол между прямой BD и плоскостью BTC. Для этого найдем угол между прямой BD и ее ортогональной проекцией на плоскость BTC (рис. 10).

Докажем, что DK⊥BTC. Действительно, так как BC=CD=2a, то ∆BCD – равнобедренный, ∠BCD=60°, следовательно, в ∆BCD все углы по 60°, и он является правильным. Тогда медиана DK является и высотой: DK⊥BC. Далее, по условию TK⊥ABC и в силу DK⊂(ABC) получаем, что TK⊥DK. Таким образом, прямая DK перпендикулярна двум пересекающимся прямым BC и TK в плоскости BTC, что и означает по признаку перпендикулярности прямой и плоскости перпендикулярность прямой DK и плоскости (BTC).

Рис. 10

Следовательно, проекцией BD на плоскость BTC является BK и угол между BD и плоскостью BTC есть ∠CBD=60°.

Ответ. 60°.

г) Найдем расстояние от точки N до прямой DC (рис. 11).

Рис. 11

Пусть Z - середина BK, тогда NZ – средняя линия в треугольнике BTK,  Далее, NZ∥TK, поэтому NZ⊥(ABC). Следовательно, Z – проекция точки N на плоскость ABC.

Пусть ZZ₁∥BL, где Z₁∈DC. Так как BL медиана, следовательно, и высота в правильном треугольнике BDC, то ZZ₁⊥DC и ZZ₁ – проекция NZ₁ на плоскость ABC. Тогда по теореме о трех перпендикулярах NZ₁⊥DC и, следовательно, расстояние от точки N до прямой DC равно длине NZ₁.

Найдем NZ₁ из прямоугольного треугольника NZZ₁. Так как  и  то из подобия треугольников CZZ₁ и CBL получаем  Окончательно,

Ответ.