Способы решения экономических задач

В течение нескольких лет в курсе средней школы и в вузах появились разнообразные экономические задачи. До 10 класса в основном ученики решают задачи на движение, проценты, прогрессии, на тему «работа» и числовые зависимости. Перед школьниками встаёт цель - научиться понимать условия задачи, выявлять скрытую информацию, вникать в смысл каждого слова, предложения в ней, а также научиться связывать условия задачи с заданным вопросом.

В ходе решения задач №1, №11 первой части ЕГЭ, обычно применяют формулу для нахождения суммы на счете (a*(1+p)^k), где k – количество лет, p – процентная ставка) [2].Перед нами появилась цель научиться решать задачи под №17 «ЕГЭ». Решать задачи можно несколькими способами. Я предлагаю способ решения таких задач. В ходе изучения работы брокеров, я решила дополнить, разнообразить и увеличить количество решений экономических задач.

Решение задачи №1

I. Табличный способ по акциям по истечении года

Алексей приобрёл ценную бумагу за 7 тыс. рублей. Цена бумаги каждый год возрастает на 2 тыс. рублей. В любой момент Алексей может продать бумагу и положить вырученные деньги на банковский счёт. Каждый год сумма на счёте будет увеличиваться на 10%. В течение, какого года после покупки Алексей должен продать ценную бумагу, чтобы через тридцать лет после покупки этой бумаги сумма на банковском счёте была наибольшей [1]?

Решение

Пусть Алексей продаст бумагу по истечении n-го года, то через тридцать лет после покупки сумма на его счете будет равна

a_n=(2n+7)•(1,1)^30-n

по истечении n-го года. Значит, к концу n-го года (начало n+1 года) a_n+1=a_n+2(n+1-1)

a_n+1=a_n+2n=7+2n

Тогда, нам нужно найти номер максимального члена последовательности.

a_n= (2n+7)•(1,1)^30-n, где n принимает целые значения от 1 до 30.

Выясним, при каких значениях n последовательность a_n возрастает, а при каких убывает. Для этого рассмотрим разность D_n=a_n-a_n-1, то есть доход в каждом месяце [3].

Найдем, a_n-1=(7+2(n-1)•1,1^30-(n-1)=(2n+5)•1,1^30-n•1,1(n>1)

D_n=(2n+7)•1,1^30-n-(2n+5)•1,1^30-n•1,1=1,1^30-n(2n+7-2,2n-5,5)=1,1^30-n•(1,5-0,2n)

Исследуем последовательность, т.к 1,1^30-n>0, а 1,5-0,2n≥0 при n≤7

Значит, при n=8 ,1,5-0,2n≤0;

Итак, D_n>0 при 1<n<7 и D_n<0 при n>8, следовательно, по истечении 7 лет нужно продать (т.е. в течении 8-го года) a₀<a₁<a₂<…a₇<a₈>a₉>a_n>…a₁₅.

Ответ: В зависимости от вопроса «в течение какого года стоит продать?» – ответ: 8, если вопрос «По истечении какого года?», то ответ: 7.

Решение задачи № 2

Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят t² тыс. рублей в конце года t (t = 1; 2; ...). В конце любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на счёт в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счёте будет увеличивается на 25%. В конце какого года пенсионному фонду следует продать ценные бумаги, чтобы в конце двадцатого года сумма на счёте была наибольшей [5]?

I способ решения задачи №2

С помощью формул найдём дивиденд (надбавку) в ценных бумагах:

А) предыдущего года (до n-го года) – (n-1)²=n² - n² +2n-1=2n-1(дивиденд с (n-1) по n);

Б) последующего года (после n-го года) – (n+1)²-n²=n²+2n+1-n²=2n+1 (дивиденд с n по (n+1)).

С помощью формул найдём процент начисления (надбавку) в банковском счёте:

p=25% a(1+0.01p)=a(1+0.25)=1.25a.

А) предыдущего года (до n-го года) n²(1+0.25)=n²+0.25n².

Б) последующего года (после n-го года) (n-1)² (1+0.25)=(n-1)²+0.25(n-1)².

Сравним надбавки:

• с (n-1) по n год (надбавка в ценных бумагах должно быть меньше, чем в банковском счёте)

0,25n²>2n+1; n²>8n+4; n²-8n-4>0

D=64+16=80; n1=4+2√5; n2=4-2√5

• с n по (n+1) год (надбавка в ценных бумагах должно быть больше, чем в банковском счёте)

0.25(n-1)²<2n-1; (n-1) ²< 8n-4; n²-2n+1-8n+4<0; n²-10n+5<0

D=100-20=80; n1=5+2 √5; n2=5-2 √5

Таким образом, 4+2 √5<9 и 5+2 √5>10

поэтому наибольший член последовательности 9, то есть ценные бумаги надо продавать в конце девятого года. Ответ: 9.

II способ решения задачи №2

Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят t² тыс. рублей в конце года t (t = 1; 2; ...). В конце любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на счёт в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счёте будет увеличивается на 25%. В конце какого года пенсионному фонду следует продать ценные бумаги, чтобы в конце двадцатого года сумма на счёте была наибольшей [4]?

Решение

Если пенсионный фонд продаст ценные бумаги в конце года k, то в конце двадцатого года на его счёте будет: а_к = k; 21,2520-k тыс. рублей.

Сравним числа а_к и а_к+1: а_к+1-а_к = (k+1)

Уравнение -0,25k ² +2k+1 = 0 имеет корни 4 (1 +- 1, 2 5).

Таким образом, а_к+1>а_к при k ≤ 8; а_к +1 <а_к при k ≥ 9.

Значит, а9> а8 > ... > а1 , а9 > а10 > ... > а20, поэтому наибольший член последовательности (а_к) – это а9, то есть ценные бумаги надо продавать в конце девятого года.

Ответ: 9.