Методика изучения сложения и вычитания положительных и отрицательных чисел

Число является одним из главных понятий в математике. В современном мире человек постоянно пользуется числами, не задумываясь об их происхождении.

Понятие числа развивалось в тесной связи с изучением величин. Во всех разделах современной математики приходится рассматривать разные величины и пользоваться числами. Возникнув ещё в первобытном обществе из потребностей счёта, понятие числа изменялось, обогащалось и превратилось в важнейшее математическое понятие, с которым у людей возникало немало споров, особенно когда речь шла о нововведениях – появлении положительных и отрицательных величин.

Люди долго не могли привыкнуть к отрицательным числам, тем более признать их. Отрицательные числа казались им непонятными, ими не пользовались, просто не видели в них особого смысла.

Вопросы, связанные с введением отрицательных чисел, с изучением положительных и отрицательных чисел, являются наиболее трудными для учащихся. История развития математики показывает, что отрицательные числа значительно труднее дались человечеству, значительно труднее вошли в математику, чем дроби. Это объясняется тем, что отрицательные числа значительно меньше, чем дроби, связаны с жизнью, практикой.

Отрицательные числа возникли внутри самой математики в связи с выполнением действий, преобразований с уже известными числами (натуральные, нуль, дроби). Первыми, кто дал некоторые правила действия с отрицательными числами, были китайские математики.

Во II в. до н. э. китайский ученый Чжан Цань написал книгу «Арифметика в девяти главах». В этой книге впервые в науке встречаются отрицательные количества. Они понимаются им не так, как понимаем и применяем их мы. Полного и ясного понимания природы отрицательных величин и правил действия с ними у него нет.

В организации учебно-воспитательного процесса важную роль играют задачи. При планировании уроков следует иметь в виду, что теоретический материал осознается и усваивается преимущественно в процессе решения задач, поэтому в обучении математике они являются и целью, и средством обучения и математического развития школьников. Организуя решение задач целесообразно шире использовать дифференцированный подход к учащимся, основанный на достижении обязательного уровня подготовки. Это способствует нормализации нагрузки школьников, обеспечивает их по сильной работе, информирует у них положительное отношение к учебе. В ходе решения задач – основной учебной деятельности на уроках математики – развиваются творческая и прикладная стороны мышления.

По УМК под ред. Н.Я. Виленкин на базовом уровне данная тема изучается в течение 11 часов. Изучение темы включает четыре параграфа.

1. Сложение чисел с помощью координатной прямой.
2. Сложение отрицательных чисел.
3. Сложение чисел с разными знаками.
4. Вычитание.

В первом параграфе показывается учащимся, как складывают числа с помощью координатной прямой. Сложение чисел с помощью координатной прямой обычно не вызывает сложностей и является введением к изучению новой темы, наглядным материалом, на который будет опираться дальнейшая работа. Обычно к концу этого урока учащиеся уже видят определённые закономерности при сложении чисел и могут обходиться без координатной прямой.

Во втором параграфе вводится правило сложения отрицательных чисел и закрепить знание этого правила в ходе выполнения упражнений.

В третьем параграфе вводится правило сложения чисел с разными знаками; содержатся номера для приобретения навыка учащихся в сложении чисел с разными знаками и сложении отрицательных чисел.

В четвертом параграфе вводится правило вычитания. Вычитание положительных и отрицательных чисел – это наиболее трудное для учащихся действие. Перед тем как формулировать правило, о том, что для вычитания некоторого числа, нужно прибавить число, противоположное данному, следует обязательно провести мотивацию на примерах с координатной прямой [2, с. 171].

На втором уроке по данной теме вводится правило нахождение длины отрезка зная координаты концов.

Основываясь на базовых задачах и изученных правилах, на уроках рассматривается решение задач обратного смысла:

• Представление в виде суммы или разности числа.
• Расположение чисел в порядке убывания или возрастания.
• Сравнение чисел или значений выражений.
• Условия верного неравенства.
• Составление числовых выражений и поиск значения выражений.
• Решение уравнений с модулем.

Заключительными задачами по данной теме, являются:

• задачи прикладного характера;
• задачи на выполнение нескольких действий для нахождения значения выражения;
• найти значение выражения, если…;
• решение уравнений требует знаний правил для нахождения неизвестных компонентов и правил сложения и вычитания положительных и отрицательных чисел.

Последний урок посвящается обобщению данной темы. На этом уроке следует обратить особое внимание на решение заданий, вызвавших наибольшие затруднения у учащихся в процессе изучения темы и во время самостоятельных работ.

По УМК под ред. А.Г. Мерзляк на базовом уровне тема рассчитана на 11 часов. Изучение темы включает 3 параграфа:

1. Сложение рациональных чисел.
2. Свойства сложения рациональных чисел.
3. Вычитание рациональных чисел.

В первом параграфе показывается учащимся, как складывают числа с помощью координатной прямой.

Во втором параграфе вводятся свойства сложения рациональных чисел. Повторяются с учащимися свойства сложения для положительных слагаемых. Формулируют свойства сложения для рациональных чисел.

В четвертом параграфе вводится правила вычитания. Перед изучением данного правила вводится правило обратное. Далее на основании примеров, выделяется определенная закономерность, делается вывод, что вычитание рациональных чисел можно заменить сложением. Формулируем правило.

В учебнике А.Г. Мерзляка представлены упражнения следующего типа:

1. Устные задания.
2. Простые задания.
3. Задачи средней сложности.
4. Задачи высокой сложности.
5. Упражнения на повторение.
6. Подготовка к изучению новой темы.

Конкретный подход к введению правил сложения рациональных чисел реализован и в учебнике Г.В. Дорофеева, Л.Г. Петерсон [3, c. 105]. Однако при формулировке правил авторы используют понятия модуля. Например, «Чтобы сложить два числа с разными знаками, можно вычесть их модули и поставить знак числа с большим модулем». С целью предупреждения затруднений, которые могут возникнуть у учащихся при работе с правилами, авторы предлагают алгоритмизировать деятельность учащихся по их применению.