Построение фазового портрета математической модели деформационного упрочнения сплавов со сверхструктурой L12

Построение фазового портрета математической модели деформационного упрочнения сплавов со сверхструктурой L12

В статье представлены вычислительные эксперименты, в результате которых построены фазовые портреты математической модели деформационного упрочнения сплавов со сверхструктурой L12.

Аннотация статьи
математическая модель
система обыкновенных дифференциальных уравнений
вычислительные эксперименты
фазовые портреты
фазовые пространства
Ключевые слова

Фазовый портрет является графическим изображением системы в многомерном пространстве (фазовой траектории), по координатным осям которого отложены значения величин переменных системы [1]. При использовании данного метода представления поведение переменных, зависимых от времени, для каждой начальной точки описывается фазовой траекторией. Совокупность таких фазовых траекторий для различных начальных условий и представляет собой фазовый портрет [2].

Благодаря построению фазового пространства становится возможно наглядно проследить за поведением системы в окрестности особой точки, а также удалении от нее.

Чтобы построить фазовый портрет необходимо провести вычислительный эксперимент. Работа ведется с математической моделью деформационного и термического упрочнения сплавов со сверхструктурой L12 с учетом разрушения дальнего атомного порядка в случае работы сверхдислокационных источников [3], которая представляет собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений [4]:

Вычислительный эксперимент заключается в вычислении системы при заданных параметрах и начальных значениях.

Для проведения данного эксперимента выбран набор параметров, соответствующий деформационному сплаву Ni3Ge при комнатной температуре и задан в системе Mathcad [5]:

Данная модель в качестве независимой переменной использует деформацию e. Зависимыми переменными являются r (плотность дислокации), Cv (количество вакансий), h* (параметр дальнего порядка внутри антифазного домена), h (параметр дальнего порядка – упорядоченность во взаимном расположении атомов или молекул в веществе), ho (сумма h* и h). Переменные модели были переобозначены следующим образом: ρ → x0, Cv → x1, η* → x2, η → x3 и заданы в виде начальных значений, т.к. задача Коши считается поставленной, когда имеется система и начальные значения, кроме того, для построения фазового портрета необходимо построить набор кривых, поэтому были проварьированы значения r.

По результатам данного эксперимента построены зависимости параметров (рисунок 1) математической модели.

Рис. 1. Зависимости: плотность дислокации от деформации (а), количество вакансий от деформации (б), сумма параметров дальнего порядка от деформации (в)

На рисунке 1 (а) видно, что увеличивается плотность дислокации, а на рисунке 1 (в) сумма параметра дальнего порядка. Рисунок 1 (б) показывает, что количество вакансий уменьшается.

В работе построены двухмерные фазовые портреты (рисунок 2).

Рис. 2. Двухмерные фазовые портреты

Графики имеют следующие зависимости: плотность дислокации от количества вакансий (рисунок 2 (а)), плотность дислокации от параметра дальнего порядка внутри антифазного домена (рисунок 2 (б)), плотность дислокации от параметра дальнего порядка (рисунок 2 (в)), плотность дислокации от суммы параметров дальнего порядка (рисунок 2 (г)).

Можно заметить, что особая точка неустойчивая, потому что прямые не стремятся друг к другу, а наоборот отдаляются от точки.

Помимо двухмерных графиков представления фазового портрета был построен трехмерный график с помощью инженерно-математического программного обеспечения OriginPro [6] на основании переменных математической модели: r (плотность дислокации), Cv (количество вакансий), ho (сумма параметров дальнего порядка) (рисунок 3).

Рис. 3. Трехмерный фазовый портрет

На рисунке 3 приведен трехмерный фазовый портрет зависимостей плотности дислокации ρ, суммы параметров дальнего порядка ηo и количества вакансий Cv при различных начальных условиях.

Таким образом, кривые имеют параболический вид и траектория их движения похожа на часть фазового портрета для особой точки типа неустойчивого узла [7, 8].

Текст статьи
  1. Панин В.Е., Гриняев Ю.В., Елсукова Т.Ф., Иванчин А.Г. Структурные уровни деформации твердых тел// Изв. Вузов. Физика. 1982. №6. С. 5-27.
  2. Комарь Е.В., Колупаева С.Н., Ковалевская Т.А. Качественный анализ эволюции дислокационной подсистемы дисперсно-упрочненных материалов при интенсивных воздействиях. Фундаментальные проблемы современного материаловедения. 2008. Т. 5. № 2. С. 60-65.
  3. Некрасова К.О., Самохина С.И. Анализ модели динамики призматического скольжения в ГЦК-металлах //Инноватика-2017 : сб. материалов XIII Междунар. шк.-конф. студентов, аспирантов и мол. ученых, 20- 22 апр. 2017 г., г. Томск. Томск: STT, 2017. С. 369-372.
  4. Леонов В.В. Исследование на жесткость системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), соответствующей математической модели деформационного упрочнения сплавов со сверхструктурой L12. / В.В. Леонов, С.И. Самохина // Инноватика-2020: сб. материалов XVI Международной школы-конференции студентов, аспирантов и молодых ученых (23-25 апреля 2020 г.) /под ред.: А.Н. Солдатов, С.Л. Миньков (принято к печати).
  5. Функции Mathcad [Электронный ресурс] // PTC Mathcad – Электрон. дан. – [Б. м.], 2020. – URL: https://www.mathcad.com/ru/capabilities (дата обращения: 1.05.2020).
  6. Introduction OriginPro [Электронный ресурс] // OriginLab Corporation – Электрон. дан. – [Б. м.], 2020. – URL: https://www.originlab.com/index.aspx?go=Products/Origin (дата обращения: 1.05.2020).
  7. Петелин А.Е., Самохина С.И., Колупаева С.Н. Учет упругого взаимодействия дислокаций в математической модели формирования зоны кристаллографического сдвига в ГЦК-металлах //Известия вузов. Физика. 2013. Т. 56, № 8. С. 95-100.
  8. Колупаева С.Н., Петелин А.Е., Самохина С.И. Эволюция формы дислокационной петли при формировании зоны кристаллографического сдвига в меди //Вестник ТГАСУ. 2011. № 1. С. 156-163.
Список литературы
Ведется прием статей
Прием материалов
c 17 октября по 31 октября
Остался 1 день до окончания
Препринт статьи — после оплаты
Справка о публикации
сразу после оплаты
Размещение электронной версии
04 ноября
Загрузка в elibrary
04 ноября
Рассылка печатных экземпляров
06 ноября