Метод экстремального сдвига для оптимального управления в позиционной дифференциальной игре
научный журнал «Актуальные исследования» #1 (1), ноябрь '19

Метод экстремального сдвига для оптимального управления в позиционной дифференциальной игре

Рассматривается конструктивный метод построения оптимальных стратегий в антагонистической дифференциальной игре двух лиц, названный методом экстремального сдвига на сопутствующие точки.

Аннотация статьи
управление
помеха
дифференциальная игра
цена игры
экстремальный сдвиг
Ключевые слова

Введение.

Рассматриваются в игровой постановке задача оптимального управления по принципу обратной связи динамической системой, которые описывается нелинейными дифференциальными уравнениями. Особенность рассматриваемых задач – в неполноте информации о помехах, действующих на управляемый объект. Критерии качества процесса управления задаются в виде функционалов от движения объекта. Такие задачи занимают достаточно большое место среди задач управления в технике, экономике и т.д. Приводятся методы построения оптимальных алгоритмов. Рассматриваемая задача продолжает исследования авторов [2, 3] по определению оптимальных алгоритмов управления в рамках концепции Екатеринбургской школы по управлению и дифференциальным играм Н.Н. Красовского [4-6].

Объект управления. Рассматривается конфликтно-управляемый объект, движение которого описывается нелинейным векторным дифференциальным уравнением

 x=f(t, x, u, υ), t0≤t≤ϑ, u∈P, υ∈Q,   (1)

  |f(t, x, u, υ)| ≤ χ⋅(1+|x|), χ=const

где x – n-мерный вектор, t – время, начальный и конечный моменты времени t0 и ϑ зафиксированы, u – s -мерный вектор управления, vr-мерный вектор помехи, P и Q – компакты, символ |x| – обозначает евклидову норму вектора x.

Функцию f полагаем непрерывной по t, u, υ и в каждой ограниченной области G пространства {x} удовлетворяющей условию Липшица по x с константой LG, т.е.

|f(t, x(1),u,υ) f(t,x(2),u,υ)|≤

LG|x(2)-x(1)|,

где x(i) G, i = 1,2.

Предполагается, что выполняется условие седловой точки для маленькой игры [7], то есть

 (2)

где l – любой n – мерный вектор, символ l⋅f(t, x, u, υ) – обозначает скалярное произведение векторов в пространстве Rn.

Критерий качества процесса управления. В качестве критерия, определяющего цель управления игроков, будем рассматривать некоторый функционал, зависящий от движения объекта на всём отрезке времени управления, называемый позиционным [2, 3].

γ=γ(x[t],t0≤t≤ϑ).   (3)

В рамках концепции антагонистических дифференциальных игр [1-9] здесь рассматривается задача на минимакс заданного критерия качества (3), то есть о выборе в схеме обратной связи [3, 9] управлений минимизирующих и выборе помех максимизирующих величину критерия (3).

Оптимальные стратегии. Экстремальный сдвиг. Известно, что при выполнении условия (2) для функции f (1) задачу можно решать в классе чистых позиционных стратегий [2, 3, 6, 9].

u(ti(u),x[ti(u)],εu) ∈ Pi=1,...,ku

υ(ti(υ),x[ti(υ)],ευ) ∈ Qi=1,...,kυ

т.е. рассматривается следующая схема управления [3, 9] (рис. 1).

 Рис. 1. Схема управления по принципу обратной связи

Ниже предлагается некоторый оригинальный и конструктивный метод построения оптимальных стратегий игроков – метод экстремально сдвига на сопутствующие точки, идея которого принадлежит авторам.

Для использования этого метода построения оптимальных управляющих воздействий игроков требуется для выбранного критерия качества (3) и ресурсов управляющих воздействий P и Q в (1) уметь вычислять цену игры [5, 9] для любой возможной позиции {t, x} объекта (1).

ρ0(t,x)=ρu0(t,x)=ρυ0(t,x),

где

соответственно оптимальные гарантированные результаты первого и второго игроков [3, 5].

Рассмотрим для простоты изложения случай, когда разбиения заданного отрезка времени управления в (1) являются одинаковыми для обоих игроков

ti+1-tiδ, i=1,,k,

хотя как видим из схемы управления на рис. 1 они могут быть и различными.

Итак, содержательный смысл метода экстремального сдвига на сопутствующие точки имеет такой вид. Пусть реализовалась позиция

{ti,x[ti]},i=1,,k-1

объекта (1) в схеме управления по принципу обратной связи (рис. 1).

Окружаем эту позицию шариком достаточно малого радиуса с n-мерными точками w. Далее находим точки, в которых цена игры наименьшая и наибольшая соответственно для первого и второго игроков. Эти точки называем сопутствующими точками. И, наконец, совершаем сдвиг (или первый и второй игрок выбором своих управлений) – пытаемся сдвинуть фазовую точку нашего объекта к своим сопутствующим точкам.

Формально, в математической форме это выражается так.

Выбираем шар K с точками w

K=K(ε)={wR: |w-x[ti] ≤ε|,

i=1,…,k-1. 

Находим сопутствующие точки игроков, удовлетворяющие условиям

i=1,,k-1, 

i=1,…,k-1.

Строим n-мерные векторы

и выбираем управления

u0[t] u0[ti] u0(ti,x[ti],ε),υ[t] υ0[ti] υ0([ti], x[ti],ε)ti ≤ ≤ ti+1,

исходя из условий

Совершаем указанный экстремальный сдвиг на сопутствующие точки.

Рис. 2. Экстремальный сдвиг

Аналогично плану доказательства из работ [5, 6, 9] устанавливается, что стратегии, построенные методом экстремального сдвига, являются оптимальными в позиционной дифференциальной игре для объекта (1) с критерием качества (3).

Текст статьи
  1. Айзекс Р. Дифференциальные игры. –  M.: Мир, 1967.
  2. Красовский А.Н. О формализации позиционной дифференциальной игры // Докл. АН СССР. 1981. Т. 257. № 4.
  3. Красовский А.Н., Куанышев В.Т. Обратная связь в задачах позиционного минимаксного управления // Естествознание, техника, технологии: современные парадигмы и практические разработки: сб. материалов международной науч.-практ. конф., г. Белгород, 30 октября 2019 г. – Белгород: ООО Агентство перспективных научных исследований, 2019.
  4. Красовский Н.Н. Теория управления движением. – М.: Наука, 1968.
  5. Красовский Н.Н. Управление динамической системой. Задача на минимум гарантированного результата. –  М.: Наука, 1985.
  6. Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. – M.: Наука, 1974.
  7. Мак-Кинси Дж. Введение в теорию игр. –  М.: Мир, 1960.
  8. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. –  М.: Физматгиз, 1961. 
  9. Krasovskii A.N., Krasovskii N.N. Control Under Lack of Information. Boston: Birkhauser, 1994.
Список литературы
Ведется прием статей
Прием материалов
c 01 июля по 16 июля
Осталось 5 дней до окончания
Препринт статьи — после оплаты
Справка о публикации
БЕСПЛАТНО
Размещение электронной версии
21 июля
Загрузка в elibrary
21 июля
Рассылка печатных экземпляров
25 июля