Несимметричное тент-отображение в хаотической системе передачи

Явление хаотической синхронизации было открыто в середине 80-х годов прошлого века. Вид простейшей схемы синхронизации двух хаотических систем представлен на рис. 1.

Рис. 1. Схема синхронизации: ИХ – источник хаоса; ПХ – приемник хаоса;  – хаотический сигнал;  – шум;  – сигнал на входе приемника;  – сигнал на выходе приемника

В ней предполагается непосредственное воздействие физического процесса  ведущей системы – источника хаоса (ИХ) на физический процесс ведомой системы – приемника хаоса (ПХ), при наличии в общем случае шума  в канале [1]. Сигнал на входе ведомой системы имеет вид

.

Физический процесс на выходе ведомой системы  представляет собой оценку сигнала  на выходе ведущей системы.

Одним из факторов, препятствующих практическому применению хаотической синхронизации, является ее высокая чувствительность к шумам и другим возмущающим воздействиям [5]. Фундаментальной причиной такой чувствительности является наличие информации в самом хаотическом сигнале. Существуют методы синхронизации, в которых от ведущей системы к ведомой передается не сам хаотический сигнал, а информация о нем, достаточная для его восстановления в ведомой системе [2]. В качестве передаваемой информации о хаотическом сигнале может использоваться символическая последовательность. Эта последовательность соответствует "символической" динамической системе, которая эквивалентна исходной хаотической системе, в том смысле, что по ее траектории возможно однозначное восстановление исходных хаотических последовательностей.

Выберем в качестве хаотической системы несимметричное тент-отображение, когда μ≠12. Рассмотрим двоичное представление переменной . В качестве примера выберем  и перепишем его в виде x₀=0.01010000011000000000. Проследим за преобразованием  при применении к нему отображения

 (1)

в случае μ=0.7. Серия отсчетов  имеет следующий вид

x₀=0.010100000110(00000000),

x₁=0.01110010110100100100,

x₂=0.10100100000001111100.

Таким образом, действие отображения (1) на начальное условие  в случае  приводит к отображению информации об , а также обо всех последующих значениях отсчетов, не только в старшие разряды мантиссы, но и в младшие [3]. Однако, при расчетах с конечной точностью, возмущения в младших разрядах не учитываются, что приводит в процессе итерирования к потере части информации о состоянии системы. Это означает, что в несимметричном случае вероятность ошибочной идентификации состояния ведущей системы даже в отсутствии шумов не равна нулю.

Рис. 2. Вероятность ошибочного восстановления ведущей системы.
Кривая 1 – μ = 0.5, кривая 2 – μ = 0.6, кривая 3 – μ = 0.7, кривая 4 – μ = 0.8

Вероятность ошибочного восстановления состояния ведущей системы P_ош зависит от значения параметра μ (рис. 2). Из графика на рис. 2 видно, что чем больше параметр μ отличается от значения 1/2, тем выше вероятность ошибочной идентификации состояния ведущей системы.

Сформулируем алгоритм синхронизации на основе информации о состояниях ведущей системы для несимметричного тент-отображения. На вход ведомой системы с выхода ведущей системы поступает последовательность зашумленных в канале отсчетов . В приемнике с помощью обратного итерирования по последовательности , где М - точность вычисления компьютера, происходит восстановление значения . Для того, чтобы проверить является ли восстановленное значение  точным состоянием ведущей системы  и, следовательно, произошла ли точная синхронизация, запускается процесс итерирования идентичный процессу итерирования, происходящему в ведущей системе, с начальным значение . Если через М итераций значения отсчетов последовательностей  и  разойдутся на величину большую уровня шума в канале σ, то восстановленное значение  не будет являться точным значением состояния ведущей системы  и процесс вхождения в синхронизацию должен быть повторен для следующего значения состояния ведущей системы . В противном случае пара ведущая-ведомая система является синхронизованной.

В [4] предложен подход к очистке хаотического сигнала, согласно которому выбор ветви при обратной итерации текущего состояния  проводится на основе самого значения предыдущего отсчета . Используем данный подход для построения алгоритма восстановления точного состояния ведущей системы.

Пусть в качестве хаотического источника используется тент-отображение (1) и точность вычислений ограничена М битами. На вход приемника поступает последовательность зашумленных отсчетов. Для восстановления n-го состояния ведущей системы воспользуемся обратным тент-отображением

  (2)

Рис. 3. Вероятность ошибочного восстановления ведущей системы для разных алгоритмов при μ = 0.7

Восстановление начнем с отсчета . На первом шаге из двух прообразов точки  выбираем тот, который ближе к отсчету  и обозначим его . На втором шаге из двух прообразов отсчета  выбираем тот, который ближе к  и обозначаем его . Процесс продолжается до получения отсчета , который и рассматривается в качестве восстановленного значения состояния ведущей системы . Остается определить произошла ли синхронизация. Подействуем отображением (1) на восстановленное значение  и через М итераций сравним значения отсчетов  и . Если имеет место выражение

,

то при синхронизации произошла ошибка и процесс восстановления необходимо повторить для другого состояния системы. В противном случае пара ведущая-ведомая система является синхронизованной.

На рис. 3 приведена зависимость вероятности ошибочной идентификации состояния P_ош от отношения сигнал шум в канале для описываемого подхода в сравнении с предыдущим алгоритмом при μ=0.7. Из графика видно, что и первый и второй алгоритмы дают приблизительно одинаковые результаты по вероятности точной синхронизации.