Эмпирическая аппроксимация коэффициента прохождения нелинейных волн через локальную неоднородность на квантовом графе

Введение

Численное моделирование нелинейных волновых процессов на разветвленных структурах, таких как квантовые графы, позволяет получать детальные количественные характеристики распространения сигналов в неоднородных средах [3, с. 15]. Однако проведение полномасштабных расчетов для каждого нового значения контраста неоднородности требует значительных вычислительных ресурсов, что затрудняет их использование в задачах предварительного проектирования.

В прикладных исследованиях часто возникает необходимость в быстрых оценочных зависимостях целевых характеристик от управляющих параметров. Для этой цели широко применяются методы эмпирической аппроксимации: по имеющимся данным численного эксперимента строится аналитическая формула, обеспечивающая приемлемую точность в заданном диапазоне параметров [2, с. 27].

В данной работе рассматривается задача аппроксимации зависимости коэффициента прохождения нелинейного волнового пакета от контраста локальной дисперсионной неоднородности для квантового графа. Цель исследования – разработать и верифицировать эмпирическую формулу для быстрых оценочных расчетов, сравнить различные типы аппроксимирующих функций и определить область применимости полученной зависимости для описания барьерного эффекта.

Объекты и методы исследования

Математическая модель

Рассматривается нелинейное уравнение Шредингера (НУШ) на квантовом графе, приведенное к безразмерному виду (1):

, (1)

Здесь: – огибающая волнового пакета, характеризующая перенос сигнала в среде; – плотность сигнала в среде; – безразмерный параметр контраста проводимости разных сред, с помощью которого задается локальная неоднородность на ребрах графа.

Для исследования выбран граф топологии: . На одном из центральных ребер задана локальная неоднородность с помощью параметра контраста сред . Для графа заданы условия непрерывности волновой функции, условия Кирхгофа (сумма нормальных производных равна 0) и условия Дирихле (в граничных вершинах ) [1, с. 6].

Численный метод

Для получения численного решения НУШ на графе применяется явная конечно-разностная схема с шагом по пространству и шагом по времени , выбранными исходя из условий устойчивости схемы [4, с. 137]. Начальные значения волновой функции задаются с помощью гауссовой функции.

Численная реализация выполняется с помощью программы на Python с применением библиотек Numpy и Matplotlib.

Исходные данные для аппроксимации

В рамках исследования проведена серия расчетов для разных значений параметра контраста сред : чем больше , тем больше степень неоднородности центрального участка графа. Для каждого случая рассчитан коэффициент прохождения сигнала по формуле (2):

, (2)

Где: – энергия на входных ребрах графа в начальный момент времени;  – энергия на выходных ребрах графа в конечный момент времени.

По результатам численного моделирования были получены результаты, представленные в таблице 1.

Таблица 1

Зависимость коэффициента прохождения сигнала от параметра неоднородности среды

Модели для аппроксимации

Для выбора оптимальной формы эмпирической зависимости рассматриваются четыре типа функций, широко применяемых для описания монотонно убывающих процессов:

1. Экспоненциальная: ;
2. Степенная: ;
3. Рациональная: ;
4. Логистическая: .

Параметры моделей определяются методом наименьших квадратов с использованием библиотеки SciPy (функции curve_fit).

Критерии качества

Для оценки точности аппроксимации используются следующие метрики:

1. Среднеквадратичная погрешность: ;
2. Коэффициент детерминации: ;
3. Максимальная относительная погрешность: .

Результаты и их обсуждение

1. Физическая картина барьерного эффекта: пространственно-временная визуализация

В рамках исследования для квантового графа топологии с заданной на нем локальной неоднородностью найдено численное решение НУШ с учетом граничных и начальных условий. Выполнено построение детальной визуализации распространения волнового пакета по всему графу. Общая картина распространения сигнала по графу с локальной неоднородностью выглядит следующим образом:

• На входных ребрах графа е1-е3 сигнал протекает одинаково, так как на вход всем трем ребрам подается одна и та же начальная волновая функция. В вершине соединения трех ребер возникает отраженная волна.
• На центральных ребрах е4-е8 наблюдается сложная интерференционная картина: из-за локальной неоднородности на ребре е6 происходит наложение падающей и отраженной волн, в результате чего не весь сигнал проходит через неоднородный участок. В зоне перед неоднородным участком формируются высокоамплитудные пики отраженных волн. Чем больше степень неоднородности, тем больше отраженная волна.
• На выходных ребрах е9-е11 сигнал уже ослабленный, так как часть его задерживается локальной неоднородностью.

На рисунке 1 показана детальная визуализация прохождения волнового пакета по всем ребрам графа для одной из численных реализаций ().

Рис. 1. Пространственно-временная эволюция плотности сигнала на ребрах графа при параметре контраста сред

Представленная на рисунке 1 численная реализация примечательна тем, что при значении параметра контраста сред возникает барьерный эффект: участок локальной неоднородности становится барьером, отражающим большую часть сигнала, из-за чего коэффициент прохождения сигнала значительно снижается. Именно возникновением такого барьерного эффекта объясняются результаты, полученные в таблице 1.

2. Сравнение моделей аппроксимации

Для получения аппроксимирующей модели, позволяющей оценить значение коэффициента прохождения сигнала без дополнительных численных экспериментов, были рассмотрены 4 типа функций: экспоненциальная, степенная, рациональная, логистическая.

На рисунке 2 представлено сравнение четырех типов эмпирических зависимостей с расчетными данными.

Рис. 2. Сравнение моделей аппроксимации зависимости коэффициента прохождения от параметра контраста сред

Параметры аппроксимирующих моделей и критерии качества приведены в таблице 2.

Таблица 2

Сравнение моделей аппроксимации

Как видно из рисунка 2 и таблицы 2, простые двухпараметрические модели не способны корректно описать наблюдаемую зависимость. Экспоненциальная и рациональная функции демонстрируют монотонное затухание, которое либо слишком быстрое в начальной области (), либо слишком медленное в зоне перехода между режимами (). Степенная зависимость также не отражает наличие «плато» при малых и резкого спада при больших значениях параметра контраста сред.

Только логистическая функция с тремя параметрами способна одновременно описать медленное изменение в начальной области и резкий переход в области возникновения барьерного эффекта. Количественный анализ подтверждает визуальное наблюдение: максимальная относительная погрешность для логистической модели составляет 8,5% при , тогда как для альтернативных моделей погрешность превышает 100%.

3. Логистическая модель: параметры и точность

На основе проведенного сравнения логистическая функция выбрана в качестве основы для эмпирической аппроксимации. Итоговая формула после подбора параметров имеет вид (3):

, (3)

Отметим, что общая логистическая функция содержит 4 параметра и имеет вид:

, (4)

Однако для рассматриваемой физической задачи нижний предел зафиксирован на уровне , что соответствует условию полного отражения волны при сильной неоднородности (при ). В результате формула упрощается и содержит три свободных параметра (), что обеспечивает две степени свободы при пяти расчетных точках – статистически приемлемое соотношение.

Параметры модели и их доверительные интервалы (стандартные ошибки) приведены в таблице 3.

Таблица 3

Параметры логистической аппроксимации и их доверительные интервалы

Сравнение расчетных значений с результатами аппроксимации по формуле (3) представлено в таблице 4.

Таблица 4

Сравнение расчетных и аппроксимированных значений коэффициента прохождения

 4. Интерпретация результатов

Параметры логистической зависимости имеют прозрачную физическую интерпретацию. Верхний предел характеризует пропускание сигнала в слабонеоднородной среде. Фиксация нижнего предела определяет полное отражение при сильном контрасте сред ().

Ключевой параметр (центр перехода ) статистически согласуется с пороговым значением , выявленным по энергетическим критериям (формирование стоячей волны). Это подтверждает, что отражает реальную физическую характеристику системы, а не является математическим артефактом. Крутизна перехода указывает на плавное изменение режима в диапазоне .

Статистическая надежность модели обеспечивается двумя степенями свободы (5 точек – 3 параметра) и узкими доверительными интервалами всех коэффициентов.

Полученная формула аппроксимации (3) применима для оценочных расчетов в диапазоне с точностью не хуже 8,5%, что позволяет использовать ее для быстрого проектирования нелинейных волноводных структур без проведения полномасштабного моделирования.

При изменении исходных параметров модели (другая топология графа, иная нелинейность, другие начальные условия) требуется новый подбор коэффициентов для формулы аппроксимации.

Заключение

В работе выполнена аппроксимация зависимости коэффициента прохождения нелинейного волнового пакета от контраста локальной дисперсионной неоднородности на квантовом графе. Проведенное сравнение четырех типов эмпирических зависимостей показало, что простые двухпараметрические модели (экспоненциальная, степенная, рациональная) обеспечивают погрешность более 100%, что неприемлемо для практических оценок.

Логистическая функция с тремя параметрами и фиксированным нижним пределом () снижает максимальную погрешность до 8,5% при и корректно описывает переход между режимами слабого и сильного рассеяния на барьере. Полученная эмпирическая формула может быть использована для быстрых оценочных расчетов при проектировании нелинейных волноводных структур на основе квантовых графов, сокращая потребность в повторных численных экспериментах.

Детальный анализ пространственно-временной эволюции волнового пакета на всех ребрах графа подтвердил физическую природу барьерного эффекта: при наблюдается формирование высокоамплитудных стоячих волн на ребрах перед участком локальной неоднородности и резкое подавление амплитуды на выходных ребрах. Параметр , характеризующий центр перехода в логистической аппроксимирующей модели, согласуется с наблюдаемой картиной локализации энергии, что подтверждает физическую интерпретируемость предложенной аппроксимации.