Электродинамика и релятивизм

История

Были времена, когда электричество и магнетизм считались совершенно разными областями науки. Но пришел Эрстед и показал тесную связь между ними. Далее эстафету подхватили Ампер и Фарадей. Причем последний открыл важнейший для дальнейшего развития электродинамики закон электромагнитной индукции, что позволило Максвеллу написать систему уравнений, весьма похожую на уравнения гидродинамики, но описывающую электромагнитное поле.

Аналогия с гидродинамикой выглядела достаточно убедительно, поскольку передатчиком электромагнитных сил считался эфир – некая тончайшая среда, заполняющая собой все пространство и уравнения Максвелла, можно было трактовать как уравнения гидродинамики этой среды. Эфир считался неподвижным и не оказывающим никакого сопротивления движущимся сквозь него телам. Естественно, вскоре возникла идея определить скорость движения Земли относительно эфира.

За дело взялись Майкельсон и Морли, которые, с помощью прецизионного интерферометра попытались определить эту скорость. К удивлению физиков, она оказалась равной нулю. Было выдвинуто множество гипотез, призванных объяснить такой результат. Но все они оказывались ошибочными, предсказывая ненаблюдаемые явления. Более-менее успешной оказалась теория Лоренца утверждавшая, что при движении в эфире размеры всех тел сокращаются в направлении движения, (впервые эту идею выдвинул Фитцеральд), в том числе и плечи интерферометра Майкельсона-Морли, что и объясняло его нулевой результат. Более того, при подстановке преобразований координат и времени из этой теории в уравнения Максвелла, те сохраняли свою форму в новой системе отсчета.

Однако, в 1905 году появилась эйнштейновская теория относительности, в которой просто постулировалась одинаковая скорость света по всем направлениям во всех инерциальных системах отсчета. Из этого сразу же следовал отрицательный результат опыта Майкельсона-Морли. И хотя математика теорий Лоренца и Эйнштейна была одинаковой, в последней сокращения длин и замедления времени объяснялись не движением сквозь эфир, а свойствами пространства-времени. Из теории Лоренца следовало, как тогда думали, что эфир не обнаружим, а теория относительности, объяснив все несуразности свойствами пространства-времени, вообще сделала его излишней сущностью.

После 1905 года физика продолжала развиваться, появились общая теория относительности, квантовая механика, квантовая электродинамика и т. п., но мы в эти дебри лезть не будем, а ограничимся классической электродинамикой и специальной теорией относительности (СТО).

К этому времени был открыт электрон и опыты по отклонению пучков электронов (каналовых лучей) в магнитном поле показали, что с ростом скорости электронов отношение их заряда к массе уменьшается, что противоречило классической механике, но предсказывалось теориями Лоренца и Эйнштейна.

Позже были открыты и другие элементарные частицы, один из видов которых, мюмезоны (мюоны), живущие в лабораторной системе 2,2 мкс, стал использоваться для иллюстрации лоренцевского замедления времени.

Как уже говорилось, Лоренц и его современники полагали, что из теории Лоренца следует необнаружимость эфира. Однако между теориями Лоренца и Эйнштейна, несмотря на совпадение их математического аппарата, была заметная разница. В формулы преобразования координат и времени в теории Лоренца входила v – скорость объекта наблюдения относительно эфира, а в теории Эйнштейна та же v означала скорость объекта наблюдения относительно наблюдателя. Эта разница открывала возможность измерить скорость лаборатории относительно эфира, при условии, что он существовал.

Если был прав Лоренц, то должна была наблюдаться анизотропия пробегов мюмезонов в различных направлениях, что давало возможность определить вектор скорости движения лаборатории по отношению к эфиру. По своей сути это был все тот же опыт Майкельсона – Морли, но с объектами, движущимися с досветовыми скоростями. В самом же опыте Майкельсона – Морли в качестве объекта наблюдения использовался свет. Однако, как следовало из обеих теорий, сложение скорости света с любой другой скоростью давало опять же скорость света. Так что этот опыт не мог быть судьёй в споре Лоренца и Эйнштейна.

Однако, сложение досветовой скорости мюонов со скоростью лаборатории относительно эфира, приводило к разным результатам в зависимости от того складывались или вычитались эти скорости. Из теории Эйнштейна, где всё определялось скоростью мюонов относительно лаборатории, никакой анизотропии не должно быть. И такой опыт с мюонами, показавший правоту Эйнштейна, в 1941 году был поставлен [1, с. 223].

Следует отметить, что появление теории относительности не привело к какому-либо изменению представлений о природе электрического и магнитного полей. Сам Эйнштейн, в своей основополагающей работе 1905 года, просто применил преобразования Лоренца к электрическому и магнитному полю и получил формулы для преобразования этих полей из одной системы отсчёта в другую. Потом физики-теоретики объединили эти формулы в один тензор, назвали его тензором электромагнитного поля и объявили, что существует единое электромагнитное поле, хотя любой экспериментатор или инженер прекрасно различают электрическое и магнитное поля.

Парадоксы классической электродинамики

Они появились почти одновременно с появлением уравнений Максвелла.

Первый парадокс возникает при попытке применения уравнения Максвелла для rot H к движущемуся одиночному заряду. Рассмотрим некоторый контур L вокруг траектории такого заряда и две поверхности I и II, опирающиеся на этот контур (рис. 1):

Рис. 1

Уравнение Максвелла для rot H: .

Для вычисления магнитного поля вдоль контура L нам необходимо проинтегрировать левую и правую части этого уравнения. В соответствии с теоремой Стокса линейный интеграл от вектора H по контуру L будет равен интегралу от rot H по поверхности опирающейся на контур L В правой части уравнения стоит сумма двух слагаемых, первое учитывает изменение со временем электрического поля на некоторой поверхности, опирающейся на контур L (ток смещения), второе - ток заряженных частиц, текущий через эту же поверхность. На рисунке 1 одиночный заряд пересекает в данный момент времени поверхность II. Следовательно, для этой поверхности в правой части уравнения присутствуют оба слагаемых, поскольку на всей поверхности II происходит так же и изменение электрического поля. С другой стороны, на поверхности I происходит только изменение электрического поля и второе слагаемое в правой части рассматриваемого уравнения отсутствует. А поскольку поверхность I может быть взята сколь угодно близкой к поверхности II, и изменения электрического поля на них будут практически одинаковыми, то мы приходим к двум значениям для rot H и величины самого H.

Эта проблема обсуждается в [2, ч. I, с. 44], где автор на основании этого парадокса объясняет необходимость введения тока смещения, не замечая, что при движении заряда происходит изменение электрического поля и на той поверхности, которую в данный момент он пересекает.

С магнитным полем связана ещё одна неясность, носящая уже философский характер. Из уравнений Максвелла следует, что вокруг всякого движущегося заряда существует магнитное поле. Причем, магнитное поле, это некий вид материи, существующий независимо от наблюдателя. Т. е. если наблюдатель видит движущийся электрический заряд, то вокруг него обязательно будет существовать магнитное поле. В то же время для другого наблюдателя, движущегося вместе с зарядом, и для которого он неподвижен, в той же области пространства никакой материи магнитного поля существовать не будет. Такое вот диалектическое противоречие.

Далее, из уравнений Максвелла следует, что должны существовать электромагнитные волны – изменяющиеся электрические поля должны порождать поля магнитные, а те, в свою очередь, опять электрические, как это обычно рисуют в учебниках по электродинамике (рис. 2):

Рис. 2

Эти электромагнитные волны должны переносить энергию. Описывается этот процесс вектором Пойнтинга: S = e₀c²ExB, где Е и В –электрическое и магнитные поля.

Причём, как следует из уравнений Максвелла и изображено на рисунке 2, электрическое и магнитное поля в волне изменяются синфазно, т. е. обращаются в 0 одновременно. Куда девается в эти моменты энергия, переносимая волной, непонятно.

В классической электродинамике всегда была проблема с третьим законом Ньютона, в основном связанная магнитным полем. Он не выполнялся как для двух участков проводников с токами, так и для двух одиночных заряженных частиц (рис. 3):

Рис. 3

Заряд I движется в магнитном поле заряда II и, соответственно, на него действует полная сила Лоренца. В то же время, на заряд II, в рассматриваемый момент времени, действует только электрическая сила, поскольку заряд I на линии своего движения магнитного поля не создает.

Суть специальной теории относительности

Злые языки говорят, что СТО на всей земле понимают не более 100 человек. Связано это, прежде всего, с огромным значением скорости света, определяющей малость и незаметность эффектов, описываемых СТО. Попробуем разобраться, что же открыли Лоренц, Пуанкаре и Эйнштейн. Хотя львиная доля почёта и славы досталась А. Эйнштейну. Сам Эйнштейн исходил из двух постулатов: а) что существует конечная скорость распространения электромагнитных взаимодействий, численно равная скорости света в пустоте; b) все законы природы одинаковы во всех инерциальных системах отсчета.

Мы попробуем обойтись одним, вытекающим из тех знаний, которые были накопленными физиками к 1905 году, посмотрев на них с другой точки зрения. Рассмотрим ряд синхронизированных между собою часов, расставленных вдоль оси Х некоторой системы отсчёта, которая движется вправо со скоростью V´мимо неподвижного наблюдателя, часы которого, в данный момент времени синхронизированы с часами № 3, изображены ниже оси X (рис. 4):

Рис. 4

На рисунке оси Х системы синхронизированных часов и системы отсчёта неподвижного наблюдателя совпадают. В данный момент времени совпадают так же начала отсчёта координат х и х´, причём, в точке с координатой х=0 находится неподвижный наблюдатель, а в точке с координатой х´=0 находятся часы № 3 (т. е. в непосредственной близости от него). Показывают эти часы синхронное время t´, (на рис. 4 – 11час. 30 мин.) как и все остальные синхронизированные часы выше оси Х.

Так вот, из теории Лоренца вытекало, что в этот момент времени удалённые часы № 1, 2, 4, 5 для неподвижного наблюдателя, показывают время, изображенное на рисунке 4, в соответствии с формулой преобразования Лоренца для времени:

, (1)

t´ – время в движущейся системе отсчёта, t и x – время и координата в неподвижной системе отсчёта

Обратим особое внимание на подчёркнутые слова «для неподвижного наблюдателя». Для другого наблюдателя, движущегося с какой-то скоростью U относительно этого наблюдателя, и тоже поравнявшегося с ним в данный момент времени, показания часов № 1, 2, 4, 5 будут иными, поскольку скорость относительного движения часов входит в формулу Лоренца. Если этот другой наблюдатель будет двигаться вправо и с большей скоростью чем V´, то для него часы № 4 и 5 будут спешить, а часы № 1 и 2 – наоборот, отставать. Люди не могут понять, как это одни и те же часы могут одновременно отставать и спешить относительно данных часов. Вся собака зарыта в словах «для него» и неважно, что там реально будут показывать стрелки часов выше оси Х. (Реально их показания будут совпадать с положением стрелок на часах № 3 поскольку они синхронизированы с ними и неподвижны по отношению к ним).

Более того, движущиеся часы будут находиться, для неподвижного наблюдателя, в тех местах, где они должны быть в процессе движения, в показываемое ими время, подобно автобусу, едущему по расписанию, по часам водителя. Как раз из этого факта и получается сокращение расстояний между часами или любыми другими физическими телами в движущейся системе отсчёта для неподвижного наблюдателя.

Во все физические формулы мы должны подставлять именно время, получающееся из формулы (1). То, что нарисовано на рис. 4 и описывается формулой Лоренца является объективным законом природы. Мы, в обыденной жизни, не замечаем его проявления из-за огромной величины скорости света входящей в формулу (1). Если бы скорость света была существенно поменьше, то, установив время по станционным часам одной железнодорожной станции, по приезде на другую мы бы обнаруживали, что наши часы заметно отстали. Это было бы обычным и привычным явлением. Хотя, по большому счёту, мы никогда не наблюдаем и проявления, например, первого закона Ньютона – все движущиеся тела, к которым не приложена поддерживающая движение сила, рано или поздно останавливаются из-за вездесущего трения. Формулу (1), нужно просто принять как истину, полученную из ряда физических экспериментов, на «кончике пера».

Основы СТО

Формула (1) определяет показания движущегося ряда часов для неподвижного наблюдателя. Поскольку системы отсчёта равноправны, мы можем написать аналогичную формулу и для наблюдателя, находящегося возле часов 3. Для него показания часов в неподвижной системе отсчёта будут описываться формулой:

, (2)

t – это показания ряда часов, расположенных ниже оси Х (на рис. 4 изображены только одни часы из этого ряда), для наблюдателя, находящегося возле часов № 3. Они движутся в противоположном направлении с той же скоростью v, поэтому она меняет знак.

Подставим полученное t в формулу (1):

.

Откуда:

, (3)

Это преобразование для координаты х. Действуя аналогично преобразованию для t, получим:

, (4)

Поскольку движение происходит только вдоль оси Х, мы можем написать:

, (5)

Формулы (1), (3), (5) носят название формул преобразования Лоренца. На их основе построена вся теория относительности.

Она описана во множестве книг, как научно-популярных, так серьёзных научных трудов.

Из формул преобразования для координат t и х получаются формулы преобразования интервалов времени и длины отрезков:

, (6)

, (7)

Где ∆t₀ и L₀ собственные интервалы времени и отрезки длины в движущейся системе отсчёта (т. е. измеряемые неподвижными относительно движущегося наблюдателя часами и линейками).

В связи с последней формулой в СТО существует одна туманность. Речь идёт о старом парадоксе шеста и сарая. Пожалуй, наиболее наглядно он описан в [3], где бегун с 20-метровым шестом бежит через 10-метровый сарай. В книге доказано, что из-за разницы в показаниях часов на концах шеста бегун таки пробежит через сарай несмотря на его открывающиеся и закрывающиеся двери. Однако, изменим задачу. Пусть все двери сарая будут постоянно открыты, а в сарае находится наблюдатель, у которого есть инструкция: как только шест полностью окажется в сарае поставить на него метку, например, краской. С другой стороны, бегун тоже имеет инструкцию: проследить, чтобы наблюдатель в сарае в точности исполнил своё задание, т. е. поставил метку только в том случае, если шест полностью окажется в сарае. Выясняется, что в рамках СТО невозможно ответить на вопрос – будет ли метка на шесте после окончания всего опыта.

Сейчас преобразования Лоренца трактуются не просто как преобразования координат и времени, а считается, что преобразуются само пространство и время (математически это можно трактовать как повороты в четырехмерном пространстве-времени). Дальнейшее развитие этой мысли привело А. Эйнштейна к представлению об искривлённом пространстве, которое, вместе с постулатом о постоянстве скорости света, легло в основу общей теории относительности, из которой следует, что Земля, обращаясь вокруг Солнца, всё время летит по прямой в искривлённом Солнцем пространстве. Из сокращения пространства следует, что и формулы для электрического поля в разных инерциальных системах отсчёта, движущихся друг относительно друга, будут отличаться. Вывод формул для преобразования электрического поля одиночного движущегося заряда приведён в [4].

, (8)

Где θ – угол между направлением v и радиус-вектором, проведённым от заряда в данную точку пространства (R).

Это релятивистский закон Кулона, ниже мы будем часто использовать эту формулу. А тот закон Кулона, что учат в школе – его частный случай, для v = 0.

Из формул преобразований Лоренца можно легко получить формулы преобразования компонент скорости тела из одной системы в другую:

;

;

.

Формула для u_x показывает, что если мы наблюдаем из нашей неподвижной системы К распространение света вдоль оси X´ движущейся мимо нас со скоростью v системы К´, то его скорость равна: .

Т. е. при сложении скорости света с любой другой скоростью v всё равно получается скорость света, что является первым постулатом в теории Эйнштейна.

В дальнейшем нам понадобятся формулы преобразования сил при переходе из одной системы в другую:

, (9)

Магнитное поле

Мысль о том, что магнитное поле это – не какое-то материальное образование, а релятивистский эффект появилась давно. Уже через 7 лет после появления теории относительности Ли Пейдж [5] вывел магнитные силы из закона Кулона и принципов теории относительности. В современных учебниках о том же можно почитать у Фейнмана, в его лекциях [6, с. 26-266] хотя сам Фейнман в одной своей лекции называет магнитное поле релятивистским эффектом, в другой, объяснив механизм его появления, считает, что это одна из сторон единого электромагнитного поля. Мы начнём наше рассмотрение с простейших задач такого рода. Рассмотрим пробный электрический заряд, находящийся вблизи бесконечной цепочки других таких же зарядов (рис. 5):

Рис. 5

r – расстояние от одного из зарядов цепочки до пробного заряда,

r₀ – расстояние от пробного заряда до цепочки,

θ – угол между осью Х и направлением на пробный заряд в данной точке оси Х.

Пусть, в простейшем случае, всё неподвижно относительно наблюдателя, V=0 и эллипс, изображающий линии равной напряжённости электрического поля, будет просто окружностью. Вычислим силу, действующую на пробный заряд q, находящийся на расстоянии r₀ от цепочки зарядов. Эта задача, электрическое поле линейного заряда, решена во множестве учебников, и здесь мы просто проверим на этом примере нашу методику расчёта.

Обозначим λ – линейную плотность зарядов в цепочке. Тогда элементарный заряд будет: dq=λdx. Электрическое поле от него: dE= dq/r². Его компонента перпендикулярная цепочке: . И поле перпендикулярное цепочке: .

Перейдём к интегрированию по θ. Из рисунка 5: sin θ = r₀̸ r; ctg θ = x/r₀; dx/dθ = -r₀/sin²θ; dx = -r₀dθ/ sin²θ.

Тогда:

, (10)

E_|| = 0 из соображений симметрии.

Как и у Парселла [7, c. 45]. Откуда сила, действующая на пробный заряд q в его собственной системе отсчёта, равна:

, (11)

А поскольку всё неподвижно, это чисто электростатическая сила.

А теперь рассмотрим систему зарядов, изображённую на рисунке 5, из системы отсчёта движущейся относительно неё влево со скоростью v, параллельной оси Х. В ней вся система зарядов будет двигаться вправо с той же скоростью. Величина заряда q и расстояние от него до цепочки r₀ не изменятся. Но расстояния между зарядами цепочки сократятся в соответствии с формулой (7), из-за чего линейная плотность электрического заряда возрастёт: . Изменятся и электрические поля этих зарядов, они будут описываться формулой (8). Поле одного элементарного заряда, перпендикулярное цепочке:

.

А поле всей цепочки зарядов:

.

Мы перешли к интегрированию по θ, используя те же преобразования, что и при получении формулы (10). Заменим переменную . Обозначим β=v/c; a²=1-β². Тогда всё сведётся к табличному интегралу 200.03 в [9]:

, (12)

И сила, действующая на пробный заряд, будет равна:

, (13)

Сравнивая её с (11), видим, что F´=γF. А если учесть, что при переходе в другую систему отсчёта сила должна пересчитываться мы убедимся, что это одна и та же сила.

Отметим ещё одну особенность наших вычислений – в обоих случаях, и при выводе формулы (10), и при выводе формулы (12) определённый интеграл был равен 2. Это говорит о том, что «сплющивание» электрического поля движущегося заряда никак не влияет на суммарное электрическое поле всей цепочки. Его усиление в γ раз происходит исключительно из-за увеличения плотности электрических зарядов в цепочке.

Однако, в классической электродинамике, во втором случае, движущаяся вдоль оси Х, цепочка зарядов представляет собой электрический ток, вокруг которого будет существовать магнитное поле. А пробный заряд будет двигаться в этом поле и, следовательно, на него будет действовать ещё и сила со стороны магнитного поля.

Полная сила, действующая на заряд, называется силой Лоренца и равна (в СГС): .

Где В – индукция магнитного поля.

В нашем случае:

.

Тогда полная сила Лоренца:

, (14)

То есть, если мы будем рассматривать конструкцию, изображённую на рисунке 5, из движущейся относительно её системы отсчёта, то наряду с электростатической силой, действующей на пробный заряд, будет действовать и ещё одна сила, зависящая от скорости этой системы и которая называется магнитной силой. А, поскольку в классической электродинамике никаких пересчётов сил при переходе из одной системы отсчёта в другую не предусмотрено, то получается, что полная сила, действующая на пробный заряд, зависит от скорости движения наблюдателя относительно цепочки и пробного заряда.

Напротив, в СТО хотя в разных системах отсчёта и получаются разные силы взаимодействия между пробным зарядом и цепочкой, их пересчёт в их собственную систему отсчёта даёт один и тот же результат – силу электростатического взаимодействия неподвижного пробного заряда с неподвижной цепочкой зарядов, которая в данном случае, имеет минимальное значение. При рассмотрении из других, движущихся систем отсчёта, сила увеличивается в γ раз. Причём, случай неподвижных пробного заряда и цепочки не выпадает из общего рассмотрения поскольку в этом случае γ=1.

Мы, используя рисунок 5, рассмотрели случай, когда пробный заряд неподвижен относительно цепочки зарядов, создающих электрическое поле. При рассмотрении пробного заряда, движущегося относительно цепочки, параллельно ей, никаких новых проблем не возникает. Нужно просто перейти в систему отсчёта пробного заряда. В ней цепочка зарядов будет двигаться, испытывая при этом лоренцево сокращение, её электрическое поле усилится и, соответственно, увеличится сила взаимодействия между пробным зарядом и цепочкой. Расчёт этой силы будет совершенно аналогичен рассмотрению ситуации, изображённой на рисунке 5 из движущейся системы отсчёта.

Обозначим:

v_пр.з.– скорость пробного заряда (q на рис. 5) в лабораторной (неподвижной) системе отсчёта;

v_т.з. – скорость токового заряда из цепочки в той же системе отсчёта.

Переходим в систему отсчёта пробного заряда. В ней лабораторная система отсчёта движется со скоростью _пр.з. взятой с противоположным знаком. А скорость зарядов цепочки (токовых зарядов) в ней же должна вычисляться по формуле сложения скоростей: .

Здесь (– v_пр.з.) скорость лабораторной системы отсчёта в системе отсчёта пробного заряда. Линейная плотность зарядов в движущейся системе отсчёта равна . В нашем случае она равна . Или:

, (15)

Где: ; .

Это важная формула, позволяющая по известной линейной плотности зарядов, скорости движения зарядов цепочки и скорости движения пробного заряда в лабораторной системе отсчёта вычислить плотность зарядов в движущейся цепочке в системе отсчёта пробного заряда. Зная её, легко вычислить по формуле (10) электрическое поле в месте расположения пробного заряда:

, (16)

А также силу, действующую на пробный заряд, со стороны цепочки движущихся зарядов:

, (17)

В лабораторной системе эта сила будет равна:

, (18)

Интересно рассмотреть несколько частных случаев применения формулы (16). Допустим v_пр.з.=v_т.з.=0. Это соответствует неподвижным, в лабораторной системе, цепочке зарядов и пробному заряду рассмотренным в самом начале этого раздела. При этом обе γ и скобка равны 1 и: .

Что соответствует полученному выше результату.

Другой интересный случай: v_пр.з. = v_т.з. = v. При этом обе γ и скобка взаимно сокращаются и равно тому же значению. Это соответствует, описанному выше рассмотрению конструкции рисунка 5 из движущейся системы отсчёта.

Мы рассмотрели взаимодействие параллельно движущихся цепочки зарядов и пробного заряда. А теперь рассмотрим случай, когда пробный заряд движется перпендикулярно к движущейся вдоль своей оси, цепочке зарядов.

Рис. 6

На рисунке 6 изображена цепочка зарядов, движущаяся снизу вверх по оси Y, со скоростью v_т.з. Перпендикулярно ей, по оси X, со скоростью v_пр.з. движется пробный заряд. В системе отсчета, связанной с ним, заряды, образующие цепочку, будут двигаться со скоростью v´_т.з под углом α´ к оси Y, а линии равной напряженности электрических полей токовых зарядов, приобретут форму эллипсов в соответствии с формулой (8). В левой верхней части рисунка, в увеличенном масштабе, изображены векторы электрического поля двух симметрично расположенных токовых зарядов в точке расположения пробного заряда. Их проекции на ось Y обозначены через E´_yI и E´_yII. Поскольку в рассматриваемой системе отсчета эти векторы не равны, то будут неравными и их проекции на ось Y. Их разность, обозначенная как E´_yII - E´_yI, приведет после перехода к непрерывному распределению зарядов и интегрирования по всем зарядам цепочки к появлению боковой силы действующей на пробный заряд. Это качественное объяснение появления перпендикулярных к направлению движения заряда сил приведено у Парселла [7, с. 190].

Однако, мы пойдём дальше и попытаемся получить формулы, аналогичные тем, что получены для заряда и цепочки, движущихся параллельно друг другу.

Начнём, как и ранее, с релятивистского закона Кулона, формулы (8). Поле одного заряда из цепочки на рисунке 6 в лабораторной системе будет:

;

_;

θ – угол между осью Y и направлением в данную точку поля.

А теперь перейдём в систему отсчёта пробного заряда. В ней пробный заряд будет неподвижным, а вся цепочка токовых зарядов будет двигаться влево со скоростью v_{ц. =} –v_пр.з. вследствие чего вектор скорости токовых зарядов будет направлен под углом α´ к оси Y. Кроме того, изменится расстояние от пробного заряда до цепочки токовых зарядов r₀, и расстояние r – от данного заряда до пробного заряда (лоренцево сокращение), скорость токовых зарядов (из-за замедления времени в движущейся системе отсчёта). r´₀, r´, v´_т.з. – значения этих величин в системе отсчёта пробного заряда. Плотность зарядов в цепочке не изменится, поскольку по координате Y лоренцева сокращения нет. Поле одного токового заряда в этой системе будет:

;

;

Где θ – угол между вектором v´_т.з. и направлением в данную точку. Проекция этого поля на ось Y: .

Просуммировав поле от всех зарядов цепочки, мы получим Y-составляющую электрического поля, создаваемого цепочкой в месте расположения пробного заряда, в его системе отсчёта .

Нам необходимо перейти от интегрирования по у к интегрированию по θ.

Из рисунка 6: у=r´₀ ; , . Отметим, что .

, (19)

Для вычисления интегралы подстановками s=sin θ и s=cos θ сведены к табличным интегралам 320.03 и 200.03 в [8].

Мы выразили через величины системы отчёта пробного заряда. Однако, для сравнения с результатами классической электродинамики, нам необходимо выразить всё через величины лабораторной системы отсчёта

– одинакова в обеих системах отсчёта; ; , где – Y-компонента , – всё из рисунка 6, – из формулы преобразования скоростей для u_y(u_x =0). Знаменатель формулы для :

.

Подставив всё в формулу для , получим:

, (20)

Сравнивая последнюю формулу с формулой (16) для параллельно движущихся пробного заряда и цепочки, мы видим отсутствие множителя , что неудивительно, поскольку при движении зарядов по оси Y нет лоренцева сокращения и этот множитель равен 1. И второе отличие – нет разности в скобках. Объясняется это тем, что формула (16) описывает полное поле, действующее на пробный заряд, электростатическое плюс дополнительное, возникающее вследствие релятивистских эффектов. В то же время формула (19) описывает только релятивистское поле, возникающее из-за «сплющивания» электрических полей токовых зарядов. Фактически это одна и та же формула или формула (19) – частный случай формулы (16).

Боковая сила, действующая на пробный заряд равна: .

Та же сила в лабораторной системе отсчёта:

, (21)

Магнитная сила в классической электродинамике: .

так как . Откуда величина магнитной силы:

что полностью совпадает с F_y.

На рисунке 7 изображена конструкция из 3-х металлических рамок, одна из которых EFGH помещена между двумя другими ABCD и A´B´C´D´. Причём по последним двум рамкам пропускают электрический ток, что обеспечивает появление в них движущихся цепочек зарядов. А третья рамка может вращаться вокруг горизонтальной оси.

Рис. 7

При вращении этой рамки её проводники EF и GH вместе с находящимися в них электрическими зарядами, то приближаются, то удаляются от движущихся цепочек зарядов в проводниках AB, CD и A´B´, C´D´. В соответствии с формулой (21) на заряды во вращающейся рамке будет действовать боковая сила, они начнут двигаться, образуя электрический ток, который, с помощью коллекторов может быть выведен и использован в практических целях. Конечно, рисунок 7 только иллюстрирует идею электрогенератора, реальные устройства куда сложнее – рамки состоят из тысяч витков провода, в них вставлены ферромагнитные сердечники (мы к ним ещё вернёмся), ток пропускают по вращающейся рамке (ротору), а выработанное электричество снимают с неподвижных катушек (статора) и т. п.

Магнитное поле проводника с током

Пока что мы рассматривали взаимодействие одиночного пробного электрического заряда с цепочкой других зарядов, движущейся вдоль своей оси. Однако, в нашей повседневной жизни куда чаще приходится встречаться с электрическими зарядами, движущимися внутри металлических проводников. Казалось бы, чего проще – рассмотреть две цепочки электрических зарядов: одну составленную из движущихся электронов, другую – из неподвижных зарядов ионного остова кристаллической решетки металла. И сложить результаты взаимодействия пробного заряда с этими цепочками. Именно так и поступает Р. Фейнман в своих Лекциях [6, с. 266].

Однако, более внимательное изучение задачи, показывает несостоятельность такого подхода. Рассмотрим неподвижный электрический провод пока без тока в нём и расположим рядом с ним так же неподвижный пробный электрический заряд. В проводе число электронов равно числу ионов, он электрически нейтрален и пробный заряд с ним не взаимодействует.

 А теперь включим ток в проводе. Электроны в нём придут в движение, расстояния между ними для пробного заряда уменьшатся, их плотность увеличится и между проводом, получившим отрицательный заряд и пробным зарядом должно появиться взаимодействие.

Но эксперимент ничего подобного не показывает, провод как был нейтральным, так таким же и остаётся, что Фейнман использует в своих дальнейших рассуждениях. Т. е., если следовать теории электронного газа в металлах – СТО предсказывает несуществующий эффект.

А если копнуть поглубже, ситуация оказывается ещё хуже.

В квантовой теории электроны относятся к фермионам, т. е. подчиняются статистике Ферми-Дирака в основе которой лежит принцип Паули, запрещающий, в пределах одной системы, нахождение двух частиц в одинаковом квантовом состоянии. А поскольку энергия является одним из квантовых чисел, то энергетические уровни в металле должны заполняться электронами последовательно вплоть до энергии Ферми. В результате, электроны с этой энергией, должны иметь скорость порядка 10⁶ м/сек даже при абсолютном нуле температуры [9, с. 26].

Получается, что вследствие лоренцева сокращения расстояний между пробным зарядом и электронами в металле, любой кусок металла должен иметь огромный отрицательный заряд.

Всё изложенное указывает на то, что никакого электронного газа в металлах не существует. В любой бесконечно малый отрезок времени каждый электрон «приписан» к какому-то определённому атому, однако очень слабо с ним связан и может легко перескочить к соседнему. При этом нейтральный ранее атом превратится в положительный ион. Иными словами, во всех металлах, а не только в полупроводниках, реализуется электронно-дырочный механизм проводимости, при котором навстречу электронному току движется равный ему поток дырок. Этот же механизм работает при любом движении электронов, включая тепловое.

В таком случае, движущиеся в металле электроны действительно создают вокруг куска металла, за счёт лоренцева сокращения, мощное электростатическое поле отрицательного заряда, которое точно компенсируется положительным полем дырок, возникающим за счёт того же эффекта.

В связи с этим возникает интересный вопрос: электроны – вполне реальные физические тела и возможность применения к ним принципов теории относительности сомнений не вызывает. Но дырки физическими телами вовсе не являются, это всего лишь пустые места в неподвижных атомах (в пренебрежении их тепловым движением). Движение дырок напоминает движение героя по киноэкрану, на котором происходит быстрая смена неподвижных теневых изображений, а зритель видит плавное движение. Аналогично и в куске металла – электроны быстро перескакивают от атома к атому, а пробный заряд «видит» плавное движение положительного заряда дырок, вполне вписывающееся в принципы теории относительности.

Таким образом, всякий электрический ток в металле состоит из двух встречных потоков – электронов и равного ему потока дырок. Такая ситуация подробно рассмотрена в [7, с. 180], откуда и взят рисунок ниже:

Рис. 8. Движущиеся вдоль линии положительные и отрицательные заряды, наблюдаемые из двух разных систем отсчета. а) отрицательные заряды (светлые кружки) движутся влево, а положительные (черные кружки) – вправо с равными скоростями в лабораторной системе. Полости в этой системе одинаковы, однако, как видно из б), в системе, связанной с частицей, где пробный заряд неподвижен, линейные плотности заряда различны

Применительно к данной статье, белые кружки – электроны, чёрные – дырки. Далее, следуя Парселлу, получим для их скоростей в системе отсчёта пробного заряда:

;

.

Введя обозначения β и γ, как и ранее, получим для плотностей электрических зарядов: .

Их разность в системе отсчёта пробного заряда:

,

.

Присмотревшись, нетрудно заметить, что эта формула очень похожа на полученную нами ранее формулу (15), её часть, описывающую «магнитную составляющую» полного взаимодействия пробного заряда с цепочкой зарядов, образующих ток. Множитель 2 появляется из-за того, что в данном случае рассматривается взаимодействие сразу с 2 цепочками. Далее: .

Радиальное электрическое поле в системе отсчёта пробного заряда: .

Сила, действующая на пробный заряд в его системе (для нас): .

Та же сила в лабораторной системе отсчёта: .

Учитывая, что ток в нашей проволоке равен I=2λv₀, получим для силы взаимодействия заряда с током: .

А если обозначить B=2I/rc [7, с. 190] и назвать это В магнитным полем, то мы получим магнитную часть силы Лоренца: .

Таким образом мы, с помощью Парселла, доказали, что и в данном случае магнитные силы, действующие на движущийся пробный заряд имеют чисто электростатическое происхождение и возникают вследствие релятивистских эффектов. Хотя при этом нам пришлось отказаться от представления, что электроны образуют в металле электронный газ.

Однако, на практике куда чаще приходится сталкиваться с взаимодействием не одиночного электрического заряда с токонесущим проводом, а притяжением или отталкиванием двух, или более токонесущих проводов. Именно это взаимодействие лежит в основе работы всех электродвигателей. Но ничего нового для нас здесь нет. Если на месте одиночного движущегося заряда будет находиться провод с 10²³ движущимися электронами, то полученные нами значения действующих сил нужно будет умножить на число порядка числа Авогадро. Подробнее этот вопрос рассмотрен у того же Парселла [7, с. 180, рис. 5.22 с. 190].

Электрическое поле ускоренных зарядов

До сих пор мы рассматривали механизмы взаимодействия неподвижных и равномерно движущихся электрических зарядов с точки зрения специальной теории относительности и показали, что все «магнитные» явления в этих случаях вполне объясняются релятивистским законом Кулона и теорией А. Эйнштейна. Настало время рассмотреть электрические поля ускоренно движущихся зарядов. Классическая электродинамика утверждает, что такие заряды излучают электромагнитные волны, в которых происходит непрерывное превращение электрических полей в магнитные и наоборот.

В учебниках по электродинамике поля ускоренно движущихся зарядов выводятся длинным и сложным математическим путём с использованием 4-х мерного пространства и потенциалов Лиенара-Вихерта. Получающийся результат пригоден для любых скоростей зарядов.

Интернет предлагает упрощённые выводы тех же полей [10], правда, с потерей универсальности, результат пригоден только для малых, по сравнению со скоростью света, скоростей.

Прежде всего отметим, что векторы электрического поля равномерно и прямолинейно движущегося отрицательного заряда всегда указывают на этот заряд. Даже если заряд двигался равномерно и прямолинейно больше года, то в точке, отстоящей на расстоянии светового года от заряда вектор его электрического поля, указывает на место, в котором сейчас находится заряд несмотря на то, что он целый год двигался [7, с. 173]. Для положительного заряда векторы его поля направлены от заряда во вне, подобно иглам ежа, бегущего по лесу.

Рис. 9

На рисунке 9 чёрным кружком изображён положительный заряд, находившийся в начале координат, затем, в течение времени τ, двигавшийся с ускорением а вдоль горизонтальной оси, после чего стал двигаться с постоянной скоростью V=аτ в течение времени t (V<<c; τ<<t). Чёрной линией со стрелками изображена одна из силовых линий его электрического поля, идущая под углом θ к горизонту. В области дальше c(t+τ) от начала координат электрическое поле представляет собой поле положительного заряда, покоящегося в начале координат. В зоне шириной сτ на расстояниях ct от центра координат – поле ускоренно движущегося заряда. И, наконец, поле на расстояниях меньших c(t – τ) это поле равномерно движущегося со скоростью V положительного заряда. Оно само также равномерно движется с той же скоростью.

Согласно закону Гаусса [7, с. 40], поток электрического поля Е через любую замкнутую поверхность, равен произведению 4π на полный заряд, охватываемый этой поверхностью. Отсюда следует, что если внутри такой поверхности электрических зарядов нет, то число силовых линий поля, входящих в замкнутую поверхность, равно числу выходящих. Иными словами, линии электрического поля могут начинаться и заканчиваться только на электрических зарядах. Более того, мы можем утверждать, что поток электрического поля между сферическими поверхностями на рисунке 9 равен потоку поля через внутреннюю и наружную сферические поверхности. А поскольку «сечение» зоны сτ существенно меньше площади внутренней сферической поверхности, то плотность электрических силовых линий, которые все должны «поместиться» в этой зоне, будет существенно выше. Более высокая плотность линий означает более высокую напряжённость электрического поля по определению силовых электрических линий.

Кроме того, прямо из рисунка 9, видно, что в зоне сτ у электрического поля появляется составляющая перпендикулярная направлению распространения поля. Эта составляющая пропорциональна Vt sin θ. Другая, радиальная составляющая, пропорциональна сτ. Их отношение равно отношению соответствующих отрезков на рисунке 9: .

Где: Е_r – радиальная составляющая электрического поля в зоне сτ;

Е_θ – азимутальная составляющая того же поля.

По закону Гаусса поток вектора Е через внутреннюю сферу радиуса r равен: 4πq =4π E_rr² откуда: .

Где: q – величина заряда.

Далее:

, (22)

В последнем равенстве мы заменили одно r на r=ct.

Формула (22) описывает все основные свойства излучения: Е_θ – перпендикулярна направлению распространения излучения, спадает обратно пропорционально первой степени r, излучения нет в направлении движения заряда и оно максимально в перпендикулярном направлении, зависит от ускорения заряда.

Однако, в отличие от современных учебников электродинамики, мы полагаем, что при ускоренном движении электрических зарядов никаких магнитных полей и электромагнитных волн не возникает. Равно как и не возникает магнитного поля при изменении электрического поля. Просто электрическое поле, описываемое формулой (22), возникнув при ускоренном движении заряда, распространяется дальше со скоростью с, ни во что не превращаясь, достигает каких-то других электрических зарядов и приводит их в движение. А колебания этого поля обусловлены колебательным движением исходного заряда. В антеннах наших радиопередатчиков их выходные каскады создают переменные токи высоких частот, т. е. заставляют электроны двигаться с большими ускорениями. В результате, возникают большие поля Е_θ, которые, распространяясь во все стороны, достигают антенн радиоприёмников и заставляют колебаться электроны в них аналогично электронам в антеннах передатчиков. Аналогичные процессы происходят в микроскопических масштабах и внутри атомов, приводя к появлению электрических волн с очень малой длиной волны, в частности, световых.

Индукция

Рисунок 10 изображает два находящихся вблизи параллельных провода, причём по-нижнему течёт переменный ток, т. е. электроны в нём движутся с ускорениями а:

Рис. 10

При ускоренном движении какого-то электрона в нижнем проводе от него начинает распространяться волна электрического поля с перпендикулярной составляющей Е_θ к направлению распространения. Пройдя расстояние r, она достигнет некоторого электрона в верхнем проводе и заставит его двигаться в направлении стрелки Е_θ, но выйти за пределы верхнего провода этот электрон не может, поэтому будет двигаться под действием проекции Е_θ на направление верхнего провода Е_θ ´. Описанный механизм называется индукцией и работает в отношении всех электронов как нижнего, так и верхнего проводов.

В результате, в верхнем проводе также начнёт течь переменный ток, который можно существенно усилить, намотав оба провода в катушки и поместив их на общий ферромагнитный сердечник. Полученное устройство называется трансформатор и широко используется в электротехнике. Таким образом получается, что наши радиосвязь и трансформаторы работают на одном физическом принципе.

Если провод намотать в катушку, то излучение одного витка будет действовать на заряды в других витках того же провода, причём индуцируемая э.д.с. будет направлена против направления ускорения электронов (рис. 10), обеспечивая индуктивное сопротивление и выполнение правила Ленца.

Несколько слов о ферромагнитных сердечниках. Некоторые переходные металлы их сплавы и соединения обладают тем свойством, что электронные спины их атомов, при обычных условиях, способны выстраиваться параллельно. «Согласно Гейзенбергу, параллельное расположение атомных спинов обеспечивается квантовомеханическими обменными силами, которые, несмотря на их электростатическое происхождение, не могут быть описаны с классических позиций» [9, с. 395]. В свою очередь, обменные силы возникают из-за частичного перекрытия волновых функций соседних атомов.

Но мы в квантовомеханические дебри лезть не будем. Для нас вполне достаточно электростатического происхождения обменных сил. Хотя сам ферромагнетизм чисто «магнитное» явление – в его основе лежит всё та же электростатика.

Ещё в позапрошлом веке Ампер догадался, что по поверхности постоянных магнитов текут электрические токи («Гипотеза Ампера»), которые и обуславливают их магнитные свойства. Современная наука полностью подтвердила эту догадку, – в «жестких» ферромагнетиках, из которых делают постоянные магниты, токи поверхностных атомов, обусловленные спинами электронов и их орбитальным движением, остаются нескомпенсированными, создавая вокруг этих кусков ферромагнетиков магнитное поле. Но мы знаем, что никакого особого «магнитного» поля не существует, всё сводится к электростатике и теории относительности (см. формулы (18, 21)).

Униполярный генератор

Существует еще один тип электрического генератора, сильно занимавших умы физиков в 19-м веке. Речь пойдёт об униполярном генераторе, который схематически изображён на рисунке 11:

Рис. 11. Вид сверху

На одной оси О находятся цилиндрический постоянный магнит М, намагниченный в продольном направлении, и медный диск D, которые могут вращаться вокруг неё. К оси и краю медного диска с помощью проводов с токосъёмными щётками подключён вольтметр. В качестве диска может использоваться и сам магнит (т. е. щётки можно подключить непосредственно к металлическому магниту, тогда получается простейшая конструкция генератора, тем не менее исправно работающая). Если диск привести во вращение, независимо от того вращается или нет магнит, вольтметр показывает наличие напряжения несмотря на то, что магнитный поток через контур остаётся неизменным. Это противоречит закону Фарадея.

Авторы современных учебников по электродинамике, пытаясь объяснить работу униполярного генератора неизменно ссылаются на теорию относительности, конкретно, на формулы преобразования электрических и магнитных полей, написанные ещё Эйнштейном.

Здесь мы пытаемся доказать, что магнитного поля вообще не существует, всё сводится к электростатике и СТО.

Как уже говорилось выше, по поверхности постоянного магнита течёт ток i, обусловленный спинами и орбитальным движением электронов поверхностных атомов ферромагнетика. При вращении диска некий электрон, находящиеся на пунктирной прямой ОА будет двигаться со скоростью v относительно тока, текущего по поверхности постоянного магнита i. Согласно формуле (18) на этот электрон, в лабораторной системе отсчёта, будет действовать сила F направленная по прямой ОА, вызывая его смещение и появление напряжения на концах ОА, которое будет фиксироваться вольтметром. Правда, сама формула (18), выведенная для движения заряда вдоль бесконечной движущейся цепочки зарядов, для количественных расчётов в данном случае не годится. Необходима новая формула, учитывающая движение зарядов по окружности, разные скорости электронов на прямой ОА и т. п.

При вращении вокруг оси О измерительной цепи с вольтметром, при неподвижном диске, аналогичные соображения будут действовать в отношении электронов в проводах, соединяющих вольтметр со щётками.

При совместном вращении диска и измерительной цепи сила F будет действовать на все электроны, как в диске, так и в проводах, однако в разных частях контура она будет направлена противоположно, уравнивая генерируемые напряжения, так что вольтметр ничего не покажет.

Неподвижность или вращение магнита ни на что не влияет, поскольку и в этом случае в разных частях контура будут действовать разнонаправленные эдс, точно компенсирующие друг друга.

Заключение

Каждый из нас утром может видеть своими глазами, как из-за восточного края плоской земли появляется солнце, проходит свой путь по небосклону и заходит за западный край плоской земли. В библейские времена люди так себе и представляли мироздание. Потребовались века наблюдений, размышлений, построения теорий, чтобы человечество пришло к правильным представлениям об устройстве мира, причём задолго до начала полётов человека в космос, когда космонавты и астронавты смогли увидеть, что наука права на все 100%.

Таких примеров ошибочных выводов из непосредственных наблюдений можно привести множество. Наблюдая взаимодействие двух намагниченных кусков железа, люди решили, что это взаимодействие, подобно электрическому взаимодействию, происходит через особого вида поле, названному «магнитным». А в начале 19-го века было обнаружено, что протекающие по проводам электрические токи, так же создают магнитные поля. Тогдашние физики провели тысячи экспериментов, изучая магнитные поля электрических токов. Обобщив результаты этих экспериментов, Дж. Максвелл написал систему уравнений, связывающую между собой электрические и магнитные поля, которая легла в основу классической электродинамики.

В 1905 г. А. Эйнштейн опубликовал свою теорию относительности. Причём в своей статье он привёл и формулы преобразования электрических и магнитных полей при их наблюдении из разных систем отсчёта. С тех пор в физике появилась и закрепилась концепция единого электромагнитного поля.

Однако, многие видные физики (Ли Пейдж, Фейнман, Парселл и др.) уже давно высказывали мысль, что магнитное поле – не материальное образование, а всего лишь релятивистский эффект. Реально существует только одно поле – электрическое. Именно оно ответственно за силовое взаимодействие двух неподвижных заряженных тел. Свести это взаимодействие к магнитному еще никому не удалось. А вот обратная процедура – свести все магнитные взаимодействия к электрическим вполне удаётся, как это и показано в данной работе.

Из самых основ теории относительности, преобразований Лоренца, следует, что при наблюдении физических тел в движущейся системе отсчёта пространство в направлении движения сокращается. В случае электрически заряженных тел это приводит к увеличению плотности электрических зарядов и «сплющиванию» их электрических полей, и, соответственно, к появлению дополнительного электрического поля. Вот действием этого дополнительного электрического поля и объясняются все «магнитные» явления. Никакого материального магнитного поля не существует.

Физики 19-го века (да и 99,99% современных физиков, не говоря уже о людях далёких от физики) были убеждены в реальном существовании материального магнитного поля. Такое убеждение сильно подкреплялось наблюдением взаимодействия постоянных магнитов, плюс твёрдая уверенность, что радиоволны, свет и вообще все электромагнитные излучения представляют собой колебания электромагнитного поля, при которых электрические поля превращаются в магнитные и наоборот. Это вытекало из уравнений Максвелла и вроде бы подтверждалось опытами Герца (на самом деле Герц наблюдал распространение электрических полей, возникающих при ускоренном движении электрических зарядов).

Много сил было потрачено, чтобы измерить магнитное поле световой волны. В результате удалось установить, что действие электрического поля по крайней мере в 10000 раз сильнее «вихревого» эффекта магнитного поля световых волн [11]. Хотя, прежде всего, магнитное поле должно действовать на движущиеся заряды, а любое вещество буквально всё состоит из движущихся зарядов – вращаются электроны вокруг ядер, атомы участвуют в тепловом движении и т. п., тем не менее магнитное действие световой волны практически никак не проявляется.

В радиотехнике известны «магнитные антенны», – катушки, намотанные на ферритовые стержни. Считается, что они реагируют на магнитную составляющую электромагнитной волны. Ферритовые стержни представляют собой керамику, в которую введены соединения железа или другого ферромагнетика и всё что говорилось в разделе «Индукция», имеет самое прямое отношение к «магнитным антеннам». Т. е. и их работа основана на электростатике.

Сведение магнитного поля к электростатике и теории относительности уменьшает количество «сущностей» окружающего нас мира, делает его проще.

За 200 лет развития электродинамики физики создали, на основе уравнений Максвелла, весьма обширную и разветвлённую науку – классическую электродинамику с многочисленными формулами и объяснениями физических явлений с использованием понятия «магнитное поле». Все эти формулы широко используются в технике и прикладной физике. Было бы глупо отказываться от них, тем более что отказ от «магнитного поля» никак не влияет на полученные в классической электродинамике результаты.

Можно привести пример из астрономии, в которой давно доказано, что никаких 7 хрустальных сфер, окружающих землю, не существует. Но для целей навигации, все небесные тела считаются расположенными на бесконечно удалённой сфере.

Однако в теоретической физике, наших представлениях об устройстве мира, «магнитному полю» нет места. Его место рядом с флогистоном, эфиром, хрустальными сферами, окружающими плоскую землю, и т. п. Следует помнить, что уравнения Максвелла, содержащие Н, ничего реального не описывают, никакого «тока смещения» в вакууме не существует, всё это чистая феноменология и математика. Если верна теория относительности, то должны существовать все те явления, которые мы называем магнитными.

Автор благодарит Коцарева Л. Л. за поддержку на ранних этапах этой работы.