Среднеквадратические приближения целыми функциями в пространстве гильберта

Среднеквадратические приближения целыми функциями в пространстве гильберта

В работе решается ряд экстремальных задач о наилучшем среднеквадратическом приближении функций заданной на всей действительной оси целыми функциями экспоненциального типа. В пространстве L2(R) вычислены точные константы в неравенствах типа Джексона-Стечкина, то есть найдены точные неравенства между величиной наилучших приближений и интегралами, содержащими специальные модули непрерывности m-го порядка, связанные с оператором Стеклова.

Аннотация статьи
наилучшие приближения
модуль непрерывности m-го порядка
неравенство Джексона-Стечкина
целая функция экспоненциального типа
оператор Стеклова
Ключевые слова

Известно, что начало исследований, связанных с аппроксимацией на всей оси, было положено С.Н. Бернштейном, заданной на бесконечном интервале посредством целых функций конечной степени и создал теорию приближения на всей оси R=(-∞,+∞).  В работах И.И. Ибрагимова и Ф.Г. Насибова, а также в работе В.Ю. Попова, в которых рассматривается экстремальная задача об отыскании точных констант в неравенствах типа Джексона – Стечкина для наилучших среднеквадратических приближений функций целыми функциями экспоненциального типа. В дальнейшем эта тематика нашла своё развитие в серии работ [2-7]. Полученные в этой статье результаты являются продолжением и развитием цитированных выше работ в этом направлении.

Пусть  – пространство измеримых и суммируемых в p-й степени на всей оси R функций f с конечной нормой

При этом  – пространство измеримых и ограниченных на R функций с нормой 

– множество натуральных чисел;  – множество положительных чисел вещественной оси. Через  обозначим множество функций   у которых производные (r-1)-го порядка  локально абсолютно непрерывны, а производные r-го порядка  принадлежат пространству   Всюду далее, как в [1], структурные свойства функции   характеризуем скоростью стремления к нулю обобщённым модулем непрерывности m-го порядка r-й производной

где

  

– средние Стеклова функции  

Символом  будем обозначать сужение на R множества всех функций экспоненциального типа σ принадлежащих пространству  Величину

называют наилучшим приближением функции  элементами подпространства 

Введём следующую экстремальную характеристику 

где  ψ  – неотрицательная измеримая суммируемая на отрезке [0, t] функция, не эквивалентная нулю.

Теорема 1. Пусть   и ψ – некоторая неотрицательная измеримая суммируемая на отрезке  функция, тождественно не равная нулю. Тогда выполняются неравенства

где

 

Следствие 1. Пусть выполнены все условия теоремы 1 и, кроме того, весовая функция  является суммируемой на отрезке  Тогда при любом  справедливо равенство

Следствие 2. Если в утверждении следствия 1 полагать     то соответственно получаем равенства:

где  – интегральный синус;

Отметим, что полученные результаты некотором смысле обобщает ранее доказанные теоремы в работах [2, 3].

Известно, что если  то все промежуточные производные  а потому представляет несомненный интерес отыскать значение экстремальных характеристик, содержащих величины наилучших приближений промежуточных производных  вместо величины наилучших приближений  элементами  в норме пространства  Имеет место следующая

Теорема 2. Пусть      – некоторая суммируемая на отрезке  функция, тождественно не равная нулю. Тогда имеет место равенство

где 

Используя полученные результаты, нами в работах [4-7], найдены точные значения различных средних -поперечников некоторых классов функций.

Текст статьи
  1. Абилов В.А., Абилова Ф.В. Некоторые вопросы приближения  2π-периодических функций суммами Фурье в пространстве L2(2π) // Матем. заметки. 2004. т.76. 6. С. 803-811.
  2. Шабозов М.Ш., Мамадов Р. Наилучшее приближение целыми функциями экспоненциального типа в L2(R) // Вестник Хорогского госуниверситета, 2001, сер. 1, №4. С. 76–81.
  3. Шабозов М.Ш., Вакарчук С.Б., Мамадов Р. О точных значениях средних n-поперечников некоторых классов функций // ДАН Республики Таджикистан, 2009, т. 52, №4. С. 247–254.
  4. Тухлиев К. О наилучших приближениях целыми функциями в пространстве L2(R) // Изв. АН РТ. Отд. физ.-мат., хим., геол. и техн. н. 2013. 3(152). С. 19-29.
  5. Тухлиев К. О наилучших приближениях целыми функциями в пространстве L2(R) // Изв. АН РТ. Отд. физ.-мат., хим., геол. и техн. н. 2014. 3(156). С. 7-19.
  6. Тухлиев К. О некоторых экстремальных задачах наилучших приближений целыми функциями // Вестн. Томского гос. пед. ун-та. 2015. Вып. 2(155). С. 213-220.
  7. Тухлиев К. Наилучшие среднеквадратические приближения целыми функциями и значения средних поперечников некоторых функциональных классов // Вестн. Томского гос. пед. ун-та. 2015. Вып. 2(155). С. 229-231.
Список литературы
Ведется прием статей
Прием материалов
c 01 декабря по 15 декабря
Осталось 13 дней до окончания
Препринт статьи — после оплаты
Справка о публикации
сразу после оплаты
Размещение электронной версии
19 декабря
Загрузка в elibrary
19 декабря
Рассылка печатных экземпляров
23 декабря