Среднеквадратические приближения целыми функциями в пространстве гильберта

Известно, что начало исследований, связанных с аппроксимацией на всей оси, было положено С.Н. Бернштейном, заданной на бесконечном интервале посредством целых функций конечной степени и создал теорию приближения на всей оси R=(-∞,+∞).  В работах И.И. Ибрагимова и Ф.Г. Насибова, а также в работе В.Ю. Попова, в которых рассматривается экстремальная задача об отыскании точных констант в неравенствах типа Джексона – Стечкина для наилучших среднеквадратических приближений функций целыми функциями экспоненциального типа. В дальнейшем эта тематика нашла своё развитие в серии работ [2-7]. Полученные в этой статье результаты являются продолжением и развитием цитированных выше работ в этом направлении.

Пусть  – пространство измеримых и суммируемых в p-й степени на всей оси R функций f с конечной нормой

При этом  – пространство измеримых и ограниченных на R функций с нормой 

– множество натуральных чисел;  – множество положительных чисел вещественной оси. Через  обозначим множество функций   у которых производные (r-1)-го порядка  локально абсолютно непрерывны, а производные r-го порядка  принадлежат пространству   Всюду далее, как в [1], структурные свойства функции   характеризуем скоростью стремления к нулю обобщённым модулем непрерывности m-го порядка r-й производной

где

– средние Стеклова функции  

Символом  будем обозначать сужение на R множества всех функций экспоненциального типа σ принадлежащих пространству  Величину

называют наилучшим приближением функции  элементами подпространства 

Введём следующую экстремальную характеристику 

где  ψ  – неотрицательная измеримая суммируемая на отрезке [0, t] функция, не эквивалентная нулю.

Теорема 1. Пусть   и ψ – некоторая неотрицательная измеримая суммируемая на отрезке  функция, тождественно не равная нулю. Тогда выполняются неравенства

где

Следствие 1. Пусть выполнены все условия теоремы 1 и, кроме того, весовая функция  является суммируемой на отрезке  Тогда при любом  справедливо равенство

Следствие 2. Если в утверждении следствия 1 полагать     то соответственно получаем равенства:

где  – интегральный синус;

Отметим, что полученные результаты некотором смысле обобщает ранее доказанные теоремы в работах [2, 3].

Известно, что если  то все промежуточные производные  а потому представляет несомненный интерес отыскать значение экстремальных характеристик, содержащих величины наилучших приближений промежуточных производных  вместо величины наилучших приближений  элементами  в норме пространства  Имеет место следующая

Теорема 2. Пусть      – некоторая суммируемая на отрезке  функция, тождественно не равная нулю. Тогда имеет место равенство

где 

Используя полученные результаты, нами в работах [4-7], найдены точные значения различных средних -поперечников некоторых классов функций.