Моделирование одной антагонистической позиционной дифференциальной игры

Введение. Рассматриваемая задача на минимакс максимин критерия качества, зависящего от движения конкретного механического объекта и реализаций управления и помехи на заданном отрезке времени трактуется как антагонистическая дифференциальная игра двух лиц в рамках концепции екатеринбургской школы по оптимальному управлению Н.Н. Красовского [6, 7, 9]. Работа продолжает исследования авторов [4, 5].

Движение объекта. Рассмотрим точку единичной массы, двигающуюся в горизонтальной плоскости {q₁, q₂} под действием сил u  и υ. Тогда уравнение движения в форме второго закона Ньютона имеет вид

q=u+υ, (1)

P={u: ||u||=(u₁²+u₂²)^1/2≤2},  u∈P, (2)

где q – двумерный вектор, u и υ – векторные управляющие воздействия, удовлетворяющие условиям:

Q={υ: ||υ||=(υ₁²+υ₂²)^1/2≤1},  υ∈Q. (3)

Задача. Критерий качества. Рассматривается задача [1-9] об управлениях u и помехах υ, которые соответственно минимизируют-максимизируют величину критерия качества процесса управления [4, 5, 9], заданного в виде функционала

, (4)

где ‹u⋅υ› = u₁⋅υ₁+u₂⋅υ₂,  ||q[ϑ]|| = (q₁²[ϑ] + q₂²[ϑ])^1/2, t₀≤t*≤ϑ,  t₀=0,  ϑ=2.

Приведем систему (1) к нормальному виду

x1=x3 x2=x4 x3=u1+υ1 x4=u2+υ2.

(5)

Тогда функционал γ (2) примет вид

 (6)

В соответствии с известными результатами [3, 4, 7, 9] рассматриваемая дифференциальная игра для системы (5) с функционалом (6) имеет седловую точку {u⁰(⋅), υ⁰(⋅)} и цену ρ₀(t, x). При этом стратегии u⁰(⋅)=u⁰(t, x, ε) и υ⁰(⋅)=υ⁰(t, x, ε), составляющие седловую точку, строятся конструктивно по известной цене игры ρ⁰(t, x).  Дифференциальная игра для - объекта (5) с критерием качества γ (6) принимает вид для нелинейного объекта с расширенным фазовым вектором

x={x1,..,x5}

и критерием качества

γ=γ(x[t₀[⋅]ϑ] = {x[t], t₀≤t≤ϑ|}),

где

x1=x3 x2=x4 x3=u1+υ1 x4=u2+υ2 x5=‹u⋅υ› = u1υ1+u2υ2.

(7)

Критерий качества γ имеет вид

γ=γ(x[t₀[⋅]ϑ]) = ϕ(x[ϑ])+x₅[ϑ]. (8)

и критерий качества (9) является позиционным функционалом [5].

Используя метод верхних выпуклых оболочек [9], получаем, что цена ρ⁰(t_i, x[t_i]) дифференциальной игры определяется по формуле

ρ⁰(t_i, x[t_i]) = ρ⁰(ti, x[t_i])+x₅[t_i]. (9)

Cогласно [9], имеем

  (10)

где

 (11)

 

По известной цене игры ρ⁰(t_i, x[t_i]) будем строить стратегии u⁰(⋅)=u⁰(t, x, ε) и υ0(⋅)=υ₀(t, x, ε) в соответствии с конструкциями экстремального сдвига на сопутствующие точки из работы авторов [4, с. 9].

Пусть реализовалась позиция {t_i, x[t_i]. В данном примере сопутствующие точки [4, с. 10] будем искать следующим приближенным способом. А именно, вместо того, чтобы искать точки, в которых достигается минимум и максимум цены дифференциальной игры ρ⁰(t_i, x[t_i]) в моменты t_i,  i=1,...,k в схеме управления по принципу обратной связи ([4], рис. 1) при достаточно малом ε>0 будем просто искать точки пересечения с границей области Κ(ε) ([4], рис. 2) вектора градиента s_u[t_i]=[grad_xρ⁰(t_i, x)]_x[ti] и вектора s_υ[t_i], противоположного градиенту. При этом, было доказано в [9], что оптимальные стратегии
u⁰(⋅) и υ⁰(⋅) от величины x_*5 не зависят.

Имеем

 (12)

Таким образом, оптимальная стратегия u⁰(⋅)=u⁰(t, x, ε) есть правило, которое любой возможной позиции {t_*, x_*}  ставит в соответствие вектор u⁰={u₁⁰, u₂⁰} ∈ P (2), удовлетворяющий условию

 (13)

где

s_u[t]_i = r₀(ϑ-t_i)⋅(x₁[t_i]+x₃[t_i](ϑ-t_i)) / k[t_i],

s_υ[t_i]=r⁰(ϑ-t_i)⋅(x₂[t_i]+x₄(ϑ-t_i)) / k[t_i],  y[t_i]=1, (14)

здесь r⁰ – максимизирующее значение для (10), и

k[t_i]=((x1[t_i]+x₃[t_i](ϑ-t_i))² + (x₂[t_i]+x₄(ϑ-t_i))²)^1/2. (15)

Оптимальная стратегия υ⁰(⋅)=υ⁰(t, x, ε) есть правило, которое любой возможной позиции {t[t_i], x[t_i]} ставит в соответствие вектор υ⁰={υ₁⁰, υ₂⁰} ∈ Q (3), удовлетворяющий условию

 (16)

При этом управления u⁰[t_i[⋅]t_i+1) = {u⁰[t] = u⁰[t_i] ∈ P, t_i ≤ t≤ t_i+1, i=1,…, k} и υ⁰[t_i[⋅]t_i+1) = {υ⁰[t] = υ⁰[t_i] ∈ Q, t_i ≤ t ≤ t_i+1} определяются следующими формулами:

 (17)

 (18)

В (17) и (18) t_i ∈ Δδ{t_i},  i=1,…, k+1, где Δδ{t_i} разбиение отрезка времени [t₀, ϑ]  точками t_i, так что