научный журнал «Актуальные исследования» #52 (79), декабрь '21

Два подхода к решению задач на доказательство

Статья посвящена рассмотрению доказательств теоремы Пьера Вариньона и некоторых следствий из неё с использованием авторских чертежей.

Аннотация статьи
решение
доказательство
теорема Вариньона
GeoGebra
Ключевые слова

Геометрия – одна из древнейших наук, занимающаяся изучением свойств геометрических фигур на плоскости и в пространстве. Современным школьникам приходится уделять очень много времени обучению и выполнению домашних заданий, ведь почти каждая геометрическая задача нестандартна, особенно задачи на доказательство.

В теме «Четырехугольники» проблему с доказательствами поможет решить использование теоремы Вариньона. В данной статье приведено доказательство теоремы Пьера Вариньона и некоторых следствий из неё с использованием авторских чертежей, созданных в программе GeoGebra, а также рассмотрены несколько задач, решенных традиционным способом и с помощью применения вышеуказанной теоремы.

Взявшись за данную статью, автор столкнулась с тем, что для её оформления необходимо умение грамотно и наглядно выполнять чертежи и геометрические построения: чертить четырехугольники, находить середины их сторон, строить перпендикулярные прямые, откладывать на них равные отрезки. Существенную помощь в данной проблеме оказали возможности программы GeoGebra, переведенной на 39 языков и работающей на большом числе операционных систем. GeoGebra предоставляет пользователю набор виртуальных чертежных инструментов, с помощью которых на экране, как на листе бумаги, можно выполнять геометрические построения. Важнейшей особенностью полученного чертежа является то, что программа запоминает алгоритм построения, исходные данные можно легко изменять и результат сохранить в удобном формате.

Рассмотрим теорему Вариньона и пару следствий из неё.

Теорема Вариньона (рисунок 1): Четырехугольник, образованный путем последовательного соединения середин сторон выпуклого четырехугольника, является параллелограммом, и его площадь равна половине площади данного четырехугольника.

Рис. 1

Дано:

ABCD – выпуклый четырехугольник

AK=KB; BL=LC; CM=MD; AN=ND.

Доказать:

  1. KLMN – параллелограмм;
  2. SKLMN= SABCD:2

Доказательство:

  1. Рассмотрим одну из сторон четырехугольника KLMN, например NM. Так как NM является средней линией треугольника ADC, то NM ║AC. По тем же причинам KLAC. Следовательно, KLNM и KL= MN= AC:2. таким образом, по признаку KLMN – параллелограмм. Этот параллелограмм называется параллелограммом Вариньона данного четырехугольника
  2. Средняя линия треугольника отсекает от него треугольник, площадь которого в четыре раза меньше площади исходного треугольника. Поэтому сама сумма площадей первого и третьего треугольников равна четверти площади всего четырехугольника. То же и относительно суммы площадей второго и четвертого треугольников. Поэтому площадь параллелограмма KLMN составляет половину площади четырехугольника

Некоторые следствия из теоремы Вариньона:

Следствие 1.

Параллелограмм Вариньона является ромбом тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике: а) диагонали равны; б) бимедианы перпендикулярны.

а) Прямая теорема (рисунок 2): если в четырёхугольнике диагонали равны, то параллелограмм Вариньона является ромбом.

Рис. 2

Дано:

ABCD – четырехугольник;

KLMN – параллелограмм Вариньона;

AC=BD

Доказать: KLMN – ромб.

Доказательство:

Так как AC=BD (диагонали исходного четырехугольника равны по условию), то стороны параллелограмма Вариньона будут равны KL=LM=MN=NK (используя свойство средних линий треугольников, образованных при пересечении диагоналей исходного четырехугольника). Параллелограмм c равными сторонами является ромбом.

Обратная теорема: если параллелограмм Вариньона является ромбом, то диагонали исходного четырёхугольника равны.

б) Прямая теорема (рисунок 3): если в четырёхугольнике бимедианы перпендикулярны, то параллелограмм Вариньона является ромбом.

Рис. 3

Дано:

ABCD – четырехугольник;

KLMN – параллелограмм Вариньона;

KM и LN перпендикулярны

Доказать: KLMN – ромб.

Доказательство:

Бимедианы исходного четырехугольника – это диагонали параллелограмма Вариньона. Так как в параллелограмме диагонали перпендикулярны, то этот параллелограмм является ромбом (по признаку ромба).

Обратная теорема: если параллелограмм Вариньона является ромбом, то бимедианы исходного четырёхугольника перпендикулярны.

Следствие 2.

Параллелограмм Вариньона является прямоугольником тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике: а) диагонали перпендикулярны; б) бимедианы равны.

а) Прямая теорема (рисунок 4): если в четырёхугольнике диагонали перпендикулярны, то параллелограмм Вариньона является прямоугольником.

Рис. 4

Дано:

Четырехугольник ABCD;

KLMN – параллелограмм Вариньона;

диагонали AC и BD – перпендикулярны.

Доказать: KLMN – прямоугольник.

Доказательство:

Так как диагонали AC и BD – перпендикулярны, то стороны параллелограмма Вариньона будут перпендикулярны. Следовательно, параллелограмм Вариньона является прямоугольником.

Обратная теорема: если параллелограмм Вариньона является прямоугольником, то диагонали исходного четырёхугольника перпендикулярны.

б) Прямая теорема (рисунок 5): если в четырёхугольнике бимедианы равны, то параллелограмм Вариньона является прямоугольником.

Рис. 5

Дано:

Четырехугольник ABCD;

KLMN – параллелограмм Вариньона;

бимедианы KM и LN – равны.

Доказать: KLMN – прямоугольник.

Доказательство:

Бимедианы исходного четырехугольника – это диагонали параллелограмма Вариньона. Так как в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм является прямоугольником (по признаку прямоугольника).

Обратная теорема: если параллелограмм Вариньона является прямоугольником, то бимедианы исходного четырёхугольника равны.

Сравнение решений задач с использованием теоремы Вариньона и без её применения:

Задача 1. Докажите, что середины сторон четырехугольника являются вершинами параллелограмма (рисунок 6).

Рис. 6

Дано: ABCD – четырехугольник

AK=KB, BL=LC, CM=MD, AN=ND

Доказать: KLMN – параллелограмм.

Доказательство:

1 способ

Проведем АС и рассмотрим треугольник АВС. KL – средняя линия, следовательно KL AC, KL= AC:2. Рассмотрим треугольник ADC, NM – средняя линия, следовательно NMAC, NM = AC/2.

KL AC, NM AC, следовательно, KL NM.

KL= AC:2, NM = AC:2, следовательно, KL=NM.

KLMN – параллелограмм (противоположные стороны равны и параллельны)

2 способ

KLMN – параллелограмм Вариньона (по определению).

Задача 2. Докажите, что площадь параллелограмма, вершины которого являются серединами сторон четырехугольника ABCD, равна половине площади четырехугольника ADCD (рисунок 7).

Рис. 7

Дано: ABCD – четырехугольник

Доказать: SKLMN=1/2 SABCD

Доказательство:

1 способ

Так как SABCD=1/2ACXBD sin<1 и SKLMN=1/2KLXKN sin<2 и учитывая, что <1=<2, KL=1/2AC и KN=1/2BD, то получаем, что SKLMN=1/2 SABCD

2 способ

Так как KLMN – параллелограмм Вариньона, то его площадь равна половине площади четырехугольника ABCD.

Задача 3. Докажите, что середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба. И наоборот (рисунок 8).

Рис. 8

Доказательство:

1 способ

  1. AC – диагональ. KL – средняя линия треугольника ABC. NM – средняя линия треугольника ADC. Треугольники ABC и ADC равны по третьему признаку равенства треугольников (AB=DC, BC=DC, AC – общая сторона) => KL=NM. Также KL||NM (AC||NM, AC||KL) => KLMN- параллелограмм.
  2. Из первого следует, что KL=NM. Аналогично можно доказать, что LM=KN.
  3. ABCD – прямоугольник => AC=BD. => KL=LM=MN=NK=> KLMN – ромб.

2 способ

а) Диагонали прямоугольника равны, поэтому середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба;

б) Стороны прямоугольника перпендикулярны, поэтому бимедианы перпендикулярны, тогда середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба.

Текст статьи
  1. Вавилов В., Красников П. Бимедианы четырехугольника // Математика. 2006 – №22.
  2. Геометрия: Учебник для 8 классов общеобразовательных учреждений / А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир и др., – М.: Вентана-Граф, 2013.
  3. Прасолов В.В. задачи по планиметрии. – Т.1, 2. – М.: Наука.
  4. Филипповский Г.Б. Параллелограмм Вариньона решает задачи // Математика в школе № 4 – 2006.
  5. Свободные сведения из сети Интернет.
Список литературы
Ведется прием статей
Прием материалов
c 06 августа по 12 августа
Осталось 2 дня до окончания
Публикация электронной версии статьи происходит сразу после оплаты
Справка о публикации
сразу после оплаты
Размещение электронной версии журнала
16 августа
Загрузка в eLibrary
16 августа
Рассылка печатных экземпляров
26 августа