Методы принятия оптимизации решения

Разработкой методов оптимизации управления и принятия решений занимается раздел прикладной математики «Исследование операций». В нем рассматриваются модели и методы научного менеджмента. Все эти модели и методы возникли как ответ науки на прямой заказ от бизнеса, поэтому их распространенность в реальной деловой практике исключительно велика.

Одним из наиболее активно используемых направлений является «Операционный менеджмент» – раздел менеджмента, занимающийся рассмотрением каждодневных операций компании, не важно, работает ли компания в сфере производства, торговли или в сфере услуг.

Количественные методы предоставляют мощные инструменты анализа в области финансового планирования, оптимизации инвестиционных портфелей, для оценки и управления финансовыми рисками, прогнозирования ценообразования производных ценных бумаг и т. д.

Одним из наиболее широко используемых на практике методов является метод линейной оптимизации. С помощью линейных оптимизационных моделей рассматриваются задачи, целью которых является формирование оптимальных планов. Речь может идти об оптимальных планах производства, продаж, закупок, перевозок, об оптимальном финансовом планировании, оптимальной организации рекламной кампании или об оптимальном плане инвестиционного портфеля фирмы. Планирование – это одна из основных функций менеджмента.

При постановке любой задачи оптимизации необходимо, прежде всего, определить количественную характеристику цели, которую необходимо достичь в процессе оптимизации – целевую функцию. Это может быть максимум прибыли или минимум издержек (в денежном, временном или каком-либо другом выражении). Целевая функция показывает, почему одно рассматриваемое решение лучше или хуже другого.

Целевая функция зависит от величин, называемых переменными параметрами. Цель оптимизации найти такие значения переменных параметров, при которых целевая функция максимальна или минимальна.

Любая оптимизация всегда проводится при наличии некоторых ограничений – условий, ограничивающих изменения переменных решения при поиске максимальной или минимальной целевой функции. Эти ограничения могут диктоваться вторичными целями. Например, минимизируя риск инвестиционного портфеля, мы одновременно хотим добиться ожидаемой прибыли не хуже заданной. Обязательно учитывается ограниченность ресурсов, находящихся в нашем распоряжении (денежных, временных, материальных). Так же в качестве ограничений выступают установленные «правила игры»: рыночные ограничения, нормативные акты, лимитирующие ту или иную характеристику или любые требования субъекта, принимающего решения.

Линейная оптимизация имеет дело с моделями, в которых целевая функция линейно зависит от переменных параметров, и ограничения представляют собой линейные уравнения или неравенства относительно переменных параметров. Фактически, это означает, что целевая функция и ограничения могут представлять собой только суммы произведений постоянных коэффициентов на переменные решения в первой степени, то есть выражения типа:

F = c₁ x₁ + c₂ x₂ + … + c_n x_n

Для решения задач линейной оптимизации можно использовать надстройку к программе электронных таблиц MS Excel, которая называется «Поиск решения».

В качестве примера рассмотрим задачу о принятии оптимального решения по реализации сырья и производства продукции на условной кондитерской фабрике с целью получения максимальной прибыли. Исходные данные представлены в таблице 1.

Таблица 1

Переменные решения в данном случае – это количество единиц каждого и продукта, выпускаемого фабрикой. При этом целевую функцию – прибыль от производства – можно записать как сумму произведений количества произведенных единиц каждого продукта на норму прибыли каждого продукта.

Ограничения состоят в том, что расход каждого из сырьевых ресурсов на весь производственный план не должен превышать запас данного ресурса.

Результат применения функции Поиск решения представлен в таблице 2.

Таблица 2

Переменные, определяющие количество единиц продукции, должны принимать целые значения. Поэтому округлим значения переменных, соблюдая ограничения на ресурсы, получим реальный план производства, представленный в таблице 3.

Таблица 3

В установках надстройки Поиск решения существует возможность потребовать целочисленности переменных решения. Результат введения ограничения целочисленности представлен в таблице 4.

Таблица 4

При этом итоговая прибыль целочисленного решения чуть выше того, что получается при простом округлении решения. Фактически целочисленное решение очень мало отличается от обычного решения. При этом следует иметь в виду, что добавление этого ограничения исключает использование эффективных методов решения задач линейного программирования. В частности, при целочисленных ограничениях невозможно получить отчет об устойчивости, который, дает чрезвычайно важную информацию для анализа вопросов «что если», обеспечивает общий взгляд на исследуемую проблему и более глубокое ее понимание. Задача с целочисленными переменными гораздо более сложна для исследования, а алгоритмы ее решения гораздо менее универсальны и эффективны. Это особенно важно, когда исследуется большая модель (несколько десятков и сотен переменных и ограничений). Наличие целочисленное ограничение в подобной задаче приведет к серьезному увеличению времени поиска решения.