Характеристика силы притяжения Земли и силы тяжести, действующих в ходе полета ракеты

Одной из основных сил, действующих на БЛА в полете, является сила земного притяжения:

,     (1)

где m – масса БЛА;  – вектор ускорения силы притяжения.

По своей физической природе сила притяжения Земли является гравитационной силой. Гравитационные силы возникают в результате взаимодействия гравитационных полей, которые создаются в окружающем пространстве материальными объектами, имеющими некоторую массу.

Общие закономерности гравитационного взаимодействия материальных объектов были установлены в 80-х годах ХVII века великим английским физиком и математиком Исааком Ньютоном. Согласно открытому им закону всемирного тяготения, всякая материальная точка притягивает другую материальную точку с силой, прямо пропорциональной произведению их масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними:

.    (2)

Здесь f= 6,67∙10^-11 – универсальная постоянная тяготения, н∙м²/кг²; m₁ и m₂– массы материальных точек; R– расстояние между точками.

Силы F_1,2 и F_2,1 действуют по прямой, соединяющей точки m₁ и m₂, как показано на рисунке 1.

Рис. 1. Схема притяжения двух материальных тел

В соответствии с законом всемирного тяготения на движущийся в пространстве БЛА действуют силы притяжения Земли и других небесных тел. Однако, как показывают исследования и расчеты, сила притяжения Земли является определяющей даже при достаточно больших удалениях БЛА от ее поверхности. Поэтому с достаточно высокой степенью точности можно считать, что на БЛА, совершающий полет в околоземном пространстве, на удалениях, не превышающих нескольких тысяч километров, из гравитационных сил действует лишь сила притяжения Земли.

Сила притяжения Земли является потенциальной силой. Это значит, что работа силы притяжения Земли при перемещении БЛА зависит только от начального и конечного его положения в пространстве. Иными словами, работа этой силы вдоль произвольной замкнутой траектории движения БЛА тождественно равна нулю.

Потенциальный характер силы притяжения отражает потенциальный характер гравитационного поля Земли и имеет важное прикладное значение. Дело в том, что исчерпывающей силовой характеристикой потенциального поля является потенциальная функция или потенциал. Потенциалом силового поля называется скалярная функция координат, дифференциал которой равен элементарной работе создаваемой этим полем силы. Математически указанное свойство потенциала выражается формулой

dU(X,Y,Z) = dA,     (3)

где dU(X,Y,Z) – дифференциал потенциала силового поля U(X,Y,Z); dA – элементарная работа потенциальной силы.

Выражение потенциала притяжения тела произвольной формы с массой М и объемом V имеет вид:

,     (4)

где m – масса притягиваемого тела; M, V – области интегрирования, представляющие собой всю массу и весь объем притягивающего тела соответственно; R – расстояние от притягиваемой точки до элементарной массы  или элементарного объема притягивающего тела;  – объемная плотность притягивающего тела [1].

Однако, можно получить выражение, описывающее потенциал притяжения Земли точными аналитическими зависимостями, не удается из-за сложности ее фигуры (формы) и сложного характера распределения массы в теле планеты. Поэтому при решении практических задач Землю как притягивающее тело обычно представляют в идеализированном виде, позволяющем записать выражение для потенциала и вычислить силу притяжения Земли с требуемой точностью.

Сила тяжести. Земля совершает вращательное движение вокруг своей оси с угловой скоростью Ω_з=7,292116⋅10^-5с^-1 и годовое движение по слабоэллиптической орбите вокруг Солнца со средней скоростью 29,893 км/с. Вследствие того, что время полета БЛА во много раз меньше, чем период обращения Земли вокруг Солнца, влияние этого фактора на полет пренебрежимо мало. Можно считать, что в течение времени полета БЛА Земля движется по орбите прямолинейно и равномерно. Влияние же суточного вращения Земли во многих случаях необходимо учитывать.

Если БЛА находится на поверхности Земли, то справедливо следующее равенство:

,     (5)

где  – сила притяжения Земли;  – центробежная сила инерции;  – сила реакции опоры.

Таким образом, сила реакции опоры со стороны поверхности Земли уравновешивает силу притяжения и центробежную силу инерции, обусловленную ее вращением.

Равнодействующая  силы земного притяжения  и центробежной силы инерции от суточного вращения Земли , приложенная к материальному телу на поверхности Земли, называется силой тяжести. Формула для определения силы тяжести имеет вид:

,     (6)

что иллюстрируется рисунком 2.

Хотя при решении практических задач механики полета и теории наведения БЛА достаточно знать силу притяжения Земли (поскольку на БЛА в полете действует именно эта сила), рассмотрение силы тяжести целесообразно по двум причинам: во-первых, определение силы притяжения Земли пока в основном производится через определение силы тяжести; во-вторых, при решении задач наземной навигации приходится иметь дело только с силой тяжести и ее потенциалом.

Рис. 2. Схема действия силы тяжести

Величина центробежной силы инерции равна:

,    (7)

где  – расстояние от оси вращения Земли до материального тела, находящегося на ее поверхности; m – масса материального тела; R – расстояние от центра Земли до материального тела.

Центробежная сила инерции мала. Ее величина не превышает 0,35 % величины силы тяжести. Поэтому максимальное значение угла γ″, на который отклоняется линия действия силы тяжести от линии действия силы притяжения, также мало и составляет величину γ_max″=0,00173 рад=6' на широте 45^о. Для сравнения укажем, что максимальное отклонение линии действия силы притяжения общего земного эллипсоида от направления к центру Земли γ_max'=0,00335=11'5 также на широте 45^о.

Таким образом, на поверхности Земли эффект от центробежной силы инерции, обусловленной ее вращением, соизмерим с эффектом, вызываемой полярным сжатием (сплюснутостью) Земли.

1. Нижегородов А.А., Пискулин Е.В., Щедрин Е.А. Системы управления летательными аппаратами; Под ред. А.А. Нижегородова – Серпухов: ФВА РВСН имени Петра Великого, 2017. – 402 с.
2. Нижегородов А.А. Теория полёта и наведения баллистических летательных аппаратов: монография. – Серпухов: ФВА РВСН имени Петра Великого, 2016. –272с.
3. Вышегородцев Е.Н., Силенко С.А. Основы теории полета ракет.- Серпухов.: СВИ РВ, 2010г. - 210 с.