Задачи олимпиады «Шаг в будущее» 2023-2024 годов

Власова Ольга Владимировна; Ткач Леонид Иванович

Задача 1. Вариант 1 (Заключительный этап, 8 класс, 20 баллов)

В равнобедренной трапеции больше на стороне взяли точку и провели через нее прямую параллельную до пересечения с в точке так, что Площадь полученного отсеченного треугольника оказалась равной . Найти площадь трапеции если и

Решение

1) Пусть так как то и - равнобедренная трапеция (по условию ), .

2) Проведем тогда Следовательно, (по двум углам) и Обозначим (рис. 1).

Рис. 1

3) Обозначим Тогда следовательно,

4) Проведем тогда . По теореме Фалеса получаем

5) По условию Найдем высоту трапеции Площадь трапеции равна: Критерии выставления баллов представлены в таблице 1.

Ответ: .

Таблица 1

Баллы	Критерии выставления баллов
20	Решение верно.
15	Решение верно, но недостаточно обоснованно или допущена одна арифметическая ошибка, или найдены все стороны трапеции, но задача не доведена до конца.
10	Доказано равенство углов и подобие треугольников.
5	Доказано одно из утверждений, ведущих к решению задачи.
0	Решение не верно или отсутствует.

Задача 1. Вариант 2 (Заключительный этап, 8 класс, 20 баллов)

В равнобедренной трапеции больше на стороне взяли точку и провели через нее прямую параллельную до пересечения с в точке так, что Площадь полученного отсеченного треугольника оказалась равной . Найти площадь трапеции если и

Ответ: .

Задача 2. Вариант 1 (Заключительный этап, 8 класс, 15 баллов)

Решите уравнение:

Решение

Сделаем замену переменной и решим полученное уравнение:

Критерии выставления баллов представлены в таблице 2.

Ответ: .

Таблица 2

Баллы	Критерии выставления баллов
15	Решение верно.
10	Ход решения верный, но допущена одна арифметическая ошибка.
5	Сделана замена переменной, но есть ошибки в применении формул или раскрытии модуля.

Задача 2. Вариант 2 (Заключительный этап, 8 класс, 15 баллов)

Решите уравнение:

Ответ: .

Задача 3 (Заключительный этап, 8 класс, 15 баллов)

Найдите все такие значения параметра что уравнение имеет только одно решение.

Решение

Уравнение равносильно системе:

,

Выясним при каких значениях параметра эта система имеет единственное решение. Если или то (в силу ограничения для переменной ) система имеет только одно решение (1;1). Если или то решения систем (1) и (2) совпадают, следовательно, система снова имеет единственное решение (1;1). При решения систем(1) и (2) существуют, различны и уравнение имеет два различных решения. Следовательно, уравнение имеет только одно решение тогда и только тогда, когда Критерии выставления баллов представлены в таблице 3.

Ответ: 1; 3.

Таблица 3

Баллы	Критерии выставления баллов
15	Верное обоснованное решение
10	Верный ход решения, но не рассмотрен случай совпадения решений при либо допущена вычислительная ошибка.
5	Верные шаги по упрощению уравнения (например, уравнение сведено к совокупности, системе), но не рассмотрено

Задача 4. Вариант 1 (Отборочный (заочный) онлайн-этап, 9 класс, 14 баллов)

Дано четное число не оканчивающееся на 0. Найти предпоследнюю цифру числа

Решение

Найдем две последние цифры числа Так как – четное число и некратно 10, то оно может иметь вид или (то есть не ), где – некоторое натуральное число.

Используя бином Ньютона (или перемножая скобки и используя свойства сравнений), получим, что . Аналогично, . Далее, поэтому . Таким образом, в любом случае

Следовательно, возможны только четыре варианта двух последних цифр числа : 01, 26, 51, 76 следует, что делится на 4, поэтому возможен только вариант 76, то есть предпоследняя цифра числа – это

Ответ: 7.

Задача 4. Вариант 2 (Отборочный (заочный) онлайн-этап, 9 класс, 14 баллов)

Дано четное число не оканчивающееся на 0. Найти предпоследнюю цифру числа

Ответ: 7.

Задача 5. Вариант 1 (Отборочный (заочный) онлайн-этап, 9 класс, 14 баллов)

На каждой из 61 карточки написано одно из чисел: 3, 4 или 5. Число карточек с тройками на 11 больше карточек с пятерками. Из этих карточек, располагая одну карточку за другой, составляют натуральное число Найдите остаток от деления числа на 9.

Решение

1. Остаток от деления натурального числа на 9 равен остатку от деления на 9 суммы цифр этого числа.

2. Пусть – число троек среди цифр числа – число четверок, – число пятерок. Из условия Сложив уравнения системы, получим то есть сумма цифр числа равна , ⁣ следовательно, остаток от деления на 9 суммы цифр числа равен 8.

Ответ: 8.

Задача 5. Вариант 2 (Отборочный (заочный) онлайн-этап, 9 класс, 14 баллов)

На каждой из 45 карточек написано одно из чисел: 4, 5 или 6. Число карточек с четверками на 5 больше карточек с шестерками. Из этих карточек, располагая одну карточку за другой, составляют натуральное число . Найдите остаток от деления числа на 9.